Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 7. Для функции U = х
2
+у
2
–ху найти
дх
дu
в произвольной точке
М(х; у), воспользовавшись определением.
Решение: Из примера 6:
(
)
2
2 xxyxU
x
∆+∆−=∆ . По определению
()
(
)
()()
yxxyx
x
xxyx
x
U
дх
MдU
xx
x
x
−=∆+−=
∆
∆+∆⋅−
=
∆
∆
=
→∆→∆→∆
22lim
2
limlim
)(
0
2
00
.
Такой же результат мы получим, если будем искать
дх
дu
по правилам
дифференцирования функции одной переменой х, считая у – постоянной:
yx
дх
дu
−= 2.
Пример 8. Найти все частные производные функции U = arctg (ху).
Решение: Так как данная функция зависит от двух переменных, то она
имеет две частные производные
дх
дU
и
ду
дU
.
у
ху
дх
дU
⋅
+
=
2
)(1
1
;
х
ху
ду
дU
⋅
+
=
2
)(1
1
.
Пример 9. Найти все частные производные функции
z
yx
e
U
22
+
= .
Решение: ;
2
22
z
x
е
дx
дU
z
ух
⋅=
+
;
2
22
z
y
e
y
U
z
yx
⋅=
∂
∂
+
.
2222
2
2222
z
yx
z
z
ух
e
z
yx
z
yx
е
дz
дU
++
⋅
+
−=
′
+
⋅=
2.5.1 Дифференцируемость функции в точке
Пусть функция
U = f(х
1
, х
2
, …, х
n
) определена в некоторой области
{
M} и пусть М(х
1
, х
2
, …, х
n
) внутренняя точка этой области. Дадим
35
                                                                                        дu
        Пример 7. Для функции U = х2+у2–ху найти                                           в произвольной точке
                                                                                        дх
М(х; у), воспользовавшись определением.

        Решение: Из примера 6: ∆ xU = (2 x − y )∆x + ∆x 2 . По определению

дU ( M )
         = lim
                ∆ xU
                     = lim
                              (2 x − y ) ⋅ ∆x + ∆x 2         ( )
                                                     = lim ((2 x − y ) + ∆x ) = 2 x − y .
  дх       ∆x →0 ∆x    ∆x → 0            ∆x            ∆x →0


                                                    дu
Такой же результат мы получим, если будем искать       по правилам
                                                    дх
дифференцирования функции одной переменой х, считая у – постоянной:
дu
   = 2x − y .
дх

        Пример 8. Найти все частные производные функции U = arctg (ху).

       Решение: Так как данная функция зависит от двух переменных, то она
                              дU   дU
имеет две частные производные    и     .
                              дх    ду

дU      1                   дU      1
   =            ⋅ у;           =            ⋅ х.
дх 1 + ( ху ) 2             ду 1 + ( ху ) 2

                                                                                                  x2 + y2
        Пример 9. Найти все частные производные функции U =                                      e z        .

                                        х2 + у2                         x2 + y2
                 дU                                2x     ∂U                          2y
        Решение:    =е                     z      ⋅ ;        =e            z      ⋅      ;
                 дx                                 z     ∂y                           z

        х2 + у2                 ′                         x2 + y2
дU                  x2 +y2                  x2 +y2
   =е      z      ⋅               z   =−              ⋅e z        .
дz                  z                           z2
                           


      2.5.1 Дифференцируемость функции в точке


     Пусть функция U = f(х1, х2, …, хn) определена в некоторой области
{M} и пусть М(х1, х2, …, хn) внутренняя точка этой области. Дадим


                                                                                                                35

Страницы