Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 9 (об арифметических операциях над непрерывными
функциями). Если функции f(M) и g(M) определены на множестве {M} и
непрерывны в точке
, то непрерывными в этой точке будут функции:
{
MА∈
}
1) f(M) + g(M);
2) f(M) · g(M);
3)
)(
)(
Mg
Mf
, если g(A) ≠ 0.
Определение: Точки, в которых нарушено хотя бы одно условие
непрерывности функции U
= f(М), называются точками разрыва этой функции.
У функции нескольких переменных могут быть линии разрыва,
поверхности разрыва.
Пример 5. Найти точки разрыва функции
33
yx
yx
−
U
−
= .
yx
RUD
=
=
2
)(. В точках непрерывности функция должна быть
определена. Данная функция не определенна в тех точках, где х
3
– у
3
= 0, т.е.
где х
= у. Точки разрыва функции все лежат на прямой у = х. В любой точке, не
лежащей на этой прямой функция непрерывна по теореме 9, т.к. составлена из
непрерывных функций х, у, х
3
, у
3
в D(U).
Определение: Функция называется непрерывной на множестве {М},
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
2.5 Частные производные и дифференцируемость функций
Пусть (х
1
, х
2
, …, х
n
) внутренняя точка области определения {М}
функции U
= f (х
1
, х
2
, …, х
n
). Дадим переменной х
k
приращение ∆х
k
такое, чтобы
точка (х
1
, х
2
, …, х
k –1
, x
k
+∆х
k
, х
k+1
, …, х
n
) – внутренняя точка {М}.
Величина
f(х
1
, х
2
, …, х
k –1
, х
k
+ ∆х
k
, х
k+1
, …, х
n
) – f(х
1
, х
2
, …, х
k
, …, х
n
) =
U
k
х
∆
называется частным приращением функции f(х
1
, х
2
, …, х
n
) в точке
по переменной х
()
n
xxxМ ...,,,
21
k
.
33
      Теорема 9 (об арифметических операциях над непрерывными
функциями). Если функции f(M) и g(M) определены на множестве {M} и
непрерывны в точке А∈ {M }, то непрерывными в этой точке будут функции:

1) f(M) + g(M);

2) f(M) · g(M);

     f (M )
3)          , если g(A) ≠ 0.
     g(M )

      Определение: Точки, в которых нарушено хотя бы одно условие
непрерывности функции U = f(М), называются точками разрыва этой функции.

       У функции нескольких переменных могут быть линии разрыва,
поверхности разрыва.
                                                            x− y
         Пример 5. Найти точки разрыва функции U =                   .
                                                           x3 − y3
         D (U ) = R 2 x = y . В точках непрерывности функция должна быть
определена. Данная функция не определенна в тех точках, где х3 – у3 = 0, т.е.
где х = у. Точки разрыва функции все лежат на прямой у = х. В любой точке, не
лежащей на этой прямой функция непрерывна по теореме 9, т.к. составлена из
непрерывных функций х, у, х3, у3 в D(U).

       Определение: Функция называется непрерывной на множестве {М},
если она непрерывна в каждой точке этого множества.


       2.5 Частные производные и дифференцируемость функций


        Пусть (х1, х2, …, хn) внутренняя точка области определения {М}
функции U = f (х1, х2, …, хn). Дадим переменной хk приращение ∆хk такое, чтобы
точка (х1, х2, …, хk –1, xk +∆хk , хk+1, …, хn) – внутренняя точка {М}.

         Величина

     f(х1, х2, …, хk –1, хk + ∆хk, хk+1, …, хn) – f(х1, х2, …, хk, …, хn ) = ∆ х U
                                                                               k


называется частным приращением функции f(х1, х2, …, хn) в точке М ( x1 , x2 , ..., xn )
по переменной хk .


                                                                                     33

Страницы