Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2.4 Непрерывность функции в точке
Определение: Функция U = f(М) называется непрерывной в точке
, если:
()
n
аааА ...,,,
21
1) она определена в некоторой её окрестности;
2)
или
() (
AfMf
AM
=
→
lim
)
(
)
nn
ax
ax
ax
aaafxxxf
nn
...,,,)...,,,(lim
2121
.......
22
11
=
→
→
→
.
Пусть
()
(
)
nn
aaaAxxxM ...,,,,...,,,
2121
. Обозначим
.
.,....................
,
,
222
111
nnn
xaх
xax
xax
∆=−
∆=−
∆
=
−
Тогда
nnn
xaxxaxxax
∆
+
=
∆
+
=∆
+
= ...,,,
222111
.
Определение: Величина
()
(
)
nnn
aaafxaxaxafU ...,,,...,,,
212211
−
∆
+
∆
+∆
+
=∆
называется полным приращением функции U
= f(М) в точке А. Величины
называются приращениями соответствующих аргументов.
n
ххх ∆∆∆ ...,,,
21
Вернемся к определению непрерывности функции в точке А.
По определению, если U
= f(М) непрерывна в точке А, то
, т.е.
() (
AfUf
Ax
=
→
lim
)
() { } ( )
(
)
(
)
ε
δ
ρ
ε
δ
ε
<
−
⇒
<
∈∀>∃>∀ AfMfMAMM ,,:00,
если , то
() ()
UAfMf ∆=− 0lim
=
∆
⇒
<
∆
→
UU
AM
ε
.
Таким образом, если М
→ А, то 0,1 →∆=∀
i
xni и можно дать другое
определение непрерывности функции в точке А.
Определение: Функция U = f(М) называется непрерывной в точке А,
если бесконечно малым приращениям всех аргументов функции соответствует
бесконечно малое приращение функции в этой точке.
32
       2.4 Непрерывность функции в точке


         Определение: Функция U = f(М) называется непрерывной в точке
А(а1 , а 2 , ..., а n ) , если:

1) она определена в некоторой её окрестности;

2) lim f (M ) = f ( A) или         lim f ( x1 , x 2 , ..., x n ) = f (a1 , a 2 , ..., a n ) .
  M →A                            x1 → a1
                                  x2 → a 2
                                   .......
                                  xn → a n


         Пусть M ( x1 , x 2 , ..., x n ), A(a1 , a 2 , ..., a n ) . Обозначим

                                              x1 − a 1 = ∆x1 ,
                                              x 2 − a 2 = ∆x 2 ,
                                             .....................,
                                              х n − a n = ∆x n .

         Тогда x1 = a1 + ∆x1 , x 2 = a 2 + ∆x 2 , ..., x n = a n + ∆x n .

         Определение: Величина

            ∆U = f (a1 + ∆x1 , a 2 + ∆x 2 , ..., a n + ∆x n ) − f (a1 , a 2 , ..., a n )

называется полным приращением функции U = f(М) в точке А. Величины
∆х1 , ∆х 2 , ..., ∆х n называются приращениями соответствующих аргументов.

       Вернемся к определению непрерывности функции в точке А.
По определению, если U = f(М) непрерывна в точке А, то lim f (U ) = f ( A) , т.е.
                                                                                   x→ A

∀ε > 0 ∃ δ (ε ) > 0 : ∀M ∈ {M }, ρ ( A, M ) < δ               ⇒         f ( M ) − f ( A) < ε ,

если     f (M ) − f ( A) = ∆U , то           ∆U < ε        ⇒          lim ∆U = 0 .
                                                                      M →A


       Таким образом, если М → А, то ∀i = 1, n ∆x i → 0 и можно дать другое
определение непрерывности функции в точке А.

       Определение: Функция U = f(М) называется непрерывной в точке А,
если бесконечно малым приращениям всех аргументов функции соответствует
бесконечно малое приращение функции в этой точке.
                                                                                                 32

Страницы