Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 30 стр.

         Функции двух и трех переменных обычно обозначают Z = f ( x, y ) и
U = f ( x, y , z ) .
         Числовые переменные х1, х2, …, хn называются аргументами этой
функции или независимыми переменными. Множество {M} называется
областью определения функции, совокупность {U} всех значений, которые
принимает функция, называется множеством значений функций.

       Определение: Совокупность точек пространства Rn, для которых
справедливо равенство f ( x1 , x 2 , ..., x n ) = C , где С – const, называется
поверхностью уровня функции, U = f ( x1 , x 2 , ..., x n ) .


       2.3 Предел функции


       Пусть функция U = f(M) определена на множестве {M} и А – предельная
точка этого множества.

       Определение: Число b называется пределом функции U = f(M) при M → A,
если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ (ε ) > 0 ,
что для всех точек M ∈ {M }, удовлетворяющих условию o < ρ ( A, M ) < δ ,
выполняется неравенство f (M ) − b < ε .

         Или коротко:

b = lim f (M ) ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ (ε ) > 0 ∀M ∈ {M }: o < ρ ( A, M ) < δ                  ⇒
      M →A

⇒      f (M ) − b < ε .

         Если А(а1, а2, …, аn) и М(х1, х2, …, хn), то пишут

                                           lim f ( M ) = b
                                           M →A
или
                                 lim f ( x1 , x 2 , ..., x n ) = b .
                                x1 → a1
                                x2 → a 2
                                 .......
                                xn → a n

         Замечание – Говорят, что в пространстве Rn сходимость покоординатная.

         Определение: Число b называется пределом f(M) при M → ∞, если

             ∀ε > 0 ∃ N (ε ) > 0 ∀M ∈ {M }: ρ (0, М ) > N              ⇒   f (M ) − b < ε .

                                                                                              30