Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 31 стр.

          Отметим, что пишут lim f ( M ) = b или lim f ( x1 , x 2 , ..., x n ) = b .
                                           M →∞                              x1 → ∞
                                                                             x2 → ∞
                                                                              .......
                                                                             xn → ∞

       Определение: Функция U = f(М) называется бесконечно малой при M → A,
если lim f ( M ) = 0 .
       M →A

        Теорема 8. Пусть функции f(M) и g(M) определены на множестве {M} и
точка А – предельная точка этого множества и пусть существуют конечные
 lim f ( M ) , lim g ( M ) , тогда:
M →A                 M →A


1) lim ( f (М ) + g (М )) = lim f (M ) + lim g (M ) ;
   M →A                             M →A              M →A


2) lim f ( M ) ⋅ g (M ) = lim f (M ) ⋅ lim g (M ) ;
   M →A                           M →A             M →A


                  lim f (M )
         f (M ) M →A
3) lim          =            , если                   lim g (M ) ≠ 0 .
   M → A g (M )   lim g (M )                         M →A
                         M →A


                                                     2у
          Пример 3. Вычислить lim                        .
                                            х →0    х+ у
                                            у →2


          Решение: По теореме 8 имеем: lim ( х + у ) = 2 ≠ 0 , lim (2 у ) = 4 , поэтому
                                                          х →0                                 х →0
                                                          у →2                                 у →2
        2у  4
lim        = = 2.
х →0   х+ у 2
у →2
                                                                 2
                                                               2
                                                              х + ху
          Пример 4. Вычислить lim (1 + ху )                            .
                                            х →0
                                            у →2
                                                                                                                       2y
                                                                                           2                           x+ y
                                                                                        x 2 + yx               1 
          Решение: Представим функцию в виде                               (1 + ху )               = (1 + xy ) xy           .
                                                                                                                  
                1                                         1
                xy       Обозначим                                                 2у
lim (1 + ху )                              = lim (1 + z ) = e , lim
                                                          z
                     =                                                                 = 2 (см. пример 3).
х →0                     xy = z              z →0                          х →0   х+ у
у →2                                                                       у →2
                                2
Значит, lim (1 + ху ) x 2 + xy = е 2 .
            х →0
            у →2

                                                                                                                                  31