Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Если точка М(х
1
, х
2
, …, х
n
) фиксирована, то отношение
k
х
x
U
k
∆
∆
является
функцией одной переменной
.
k
х∆
Определение: Если существует конечный
k
x
x
x
U
k
k
∆
∆
→∆ 0
lim , то он называется
частной производной
функции U = f(х
1
, х
2
, …, х
n
) по аргументу х
k
в точке М(х
1
,
х
2
, …, х
n
) и обозначается
()
k
x
MU
∂
∂
или
(
)
M
k
x
U
′
.
Для функции двух переменных U
= f(х, у) существуют две частные
производные в точке М(х, у)
(
)
(
)
(
)
x
yxfyxxf
x
U
x
MU
x
x
x
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
∂
∂
→∆→∆
,,
limlim
00
,
()
(
)
(
)
y
yxfxyxf
y
U
y
MU
y
y
y
∆
−∆+
=
∆
∆
=
∂
∂
→∆→∆
,,
limlim
00
.
Замечание – При нахождении частной производной функции по
переменной х
k
приращение получает только х
k
, а все остальные аргументы
остаются постоянными. Поэтому отыскание частных производных
производится по тем же правилам, что и для функции одной переменной.
Пример 6. Для функции U = х
2
+ у
2
– ху найти )(MU
х
∆
в точке М(1;1),
когда х получит приращение 1,0
=
∆
х
.
Решение: По определению имеем:
(
)
(
)
()
222222
2222
22
)(),(),(
xxyxxyyxyxxyyxxxx
xyyxyxxyххухfухxfU
x
∆+∆⋅−=+−−⋅∆−−+∆+∆+=
=−+−⋅∆+−+∆+=−∆+=∆
– это частное приращение данной функции в произвольной точке. По условию
задачи М (1;1), ∆ 1,0=
х
. Поэтому, подставляя эти значения в ∆U, получим
()()
11,001,01,01,01,0112)(
2
=+=+⋅−⋅=∆ MU
х
.
34
                                                                                  ∆ хk U
         Если точка М(х1, х2, …, хn) фиксирована, то отношение                             является
                                                                                  ∆x k
функцией одной переменной ∆х k .

                                                                         ∆ xk U
         Определение: Если существует конечный lim          , то он называется
                                                       ∆x k     ∆xk →0
частной производной функции U = f(х1, х2, …, хn) по аргументу хk в точке М(х1,
х2, …, хn) и обозначается
                          ∂U (M )
                                  или U x′ k (M ) .
                           ∂x k

       Для функции двух переменных U = f(х, у) существуют две частные
производные в точке М(х, у)

                      ∂U (M )        ∆ U        f ( x + ∆x, y )− f ( x, y )
                              = lim x = lim                                 ,
                        ∂x     ∆x → 0 ∆ x ∆x →0            ∆x

                      ∂U (M )        ∆ yU         f ( x, y + ∆x )− f ( x, y )
                              = lim       = lim                               .
                        ∂y     ∆ y →0 ∆ y  ∆y → 0            ∆y

       Замечание – При нахождении частной производной функции по
переменной хk приращение получает только хk, а все остальные аргументы
остаются постоянными. Поэтому отыскание частных производных
производится по тем же правилам, что и для функции одной переменной.

        Пример 6. Для функции U = х2 + у2 – ху найти ∆ хU (M ) в точке М(1;1),
когда х получит приращение ∆х = 0,1 .

         Решение: По определению имеем:

                                                                             (             )
∆ xU = f ( x + ∆х, у ) − f ( х, у ) = ( х + ∆х ) 2 + y 2 − ( x + ∆x ) ⋅ y − x 2 + y 2 − xy =


      = x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 + y 2 − xy − ∆x ⋅ y − x 2 − y 2 + xy = (2 x − y ) ⋅ ∆x + ∆x 2

– это частное приращение данной функции в произвольной точке. По условию
задачи М (1;1), ∆х = 0,1. Поэтому, подставляя эти значения в ∆U, получим

∆ хU ( M ) = (2 ⋅ 1 − 1) ⋅ 0,1 + (0,1)2 = 0,1 + 0,01 = 0,11 .



                                                                                                 34

Страницы