Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2
;;
z
xy
z
u
z
x
y
u
z
y
x
u
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
. dz
z
xy
dy
z
x
dx
z
y
dU
2
−+= .
2.5.3 Дифференцирование сложной функции
Пусть на некотором множестве {
Т} заданы функции
(
)
()
()
=
=
=
nnn
n
n
tttx
tttx
tttx
...,,,
..............................
,...,,,
,...,,,
21
2122
2111
ϕ
ϕ
ϕ
(8)
с областью значений во множестве {М}, а для каждой точки
()
{
}
MxxxM
n
∈
...,,,
21
определена функция U
= f (х
1
, х
2
, …, х
n
).
Тогда на множестве {T} определена сложная функция от переменных
n
ttt ...,,,
21
(
)
(
)
(
)()
nnnn
tttttttttf ...,,,...,,...,,,,...,,,
21212211
U
ϕ
ϕ
ϕ
= . (9)
Теорема 13 (о дифференцируемости сложной функции). Пусть
функции (8) дифференцируемы в некоторой точке
(
)
00
2
0
10
...,,,
n
tttT , а функция
дифференцируема в соответствующей точке
(
n
xxxfU ...,,,
21
=
)
(
)
00
2
0
...,,,
n
xx
10
xM ,
где
(
)
(
)
nitt
n
,1,...,,
00
2
=tx
ii
,
0
1
0
=
ϕ
. Тогда сложная функция (9)
дифференцируема в точке Т
0
и частные её производные находятся по
формулам:
(
ni
t
x
x
U
t
x
x
U
t
x
x
U
t
U
T
i
n
M
n
T
i
M
T
i
M
M
i
,1,...
000
0
0
0
0
2
2
1
1
=
∂
∂
⋅
∂
∂
++
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
)
. (10)
Пример 11.
(
)
22
, yxyxf ++=U . Найти частные производные этой
функции, если f – дифференцируемая функция в точке М(х,
у).
Решение: Обозначим
, тогда
2
22
1
, tyxtyx =+=+
(
)
(
21
22
,, ttfyxyxfU =++=
)
, где . По формуле (10)
имеем:
22
21
, yxtyxt +=+=
x
t
U
t
U
x
t
t
U
x
t
t
U
x
U
2
21
2
2
1
1
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
;
38
∂u y      ∂u x     ∂u    xy           y    x   xy
  = ;       = ;       =− 2 .     dU = dx + dy − 2 dz .
∂x z      ∂y z     ∂z    z            z    z   z
   2.5.3 Дифференцирование сложной функции


            Пусть на некотором множестве {Т} заданы функции

                                                        x1 = ϕ 1 (t1 , t 2 , ..., t n ),
                                                        x = ϕ (t , t , ..., t ),
                                                        2        2 1        2         n
                                                                                                                                     (8)
                                                       ..............................
                                                        x n = ϕ n (t1 , t 2 , ..., t n )

с областью значений во множестве {М}, а для каждой точки M ( x1 , x 2 , ..., x n ) ∈ {M }
определена функция U = f (х1, х2, …, хn).
             Тогда на множестве {T} определена сложная функция от переменных
t1 , t 2 , ..., t n

                 U = f (ϕ 1 (t1 , t 2 , ..., t n ), ϕ 2 (t1 , t 2 , ..., t n ), ..., ϕ n (t1 , t 2 , ..., t n )) . (9)

      Теорема 13 (о дифференцируемости сложной функции). Пусть
функции (8) дифференцируемы в некоторой точке T0 t10 , t 20 , ..., t n0 , а функция                   (                       )
U = f ( x1 , x 2 , ..., x n ) дифференцируема в соответствующей точке M 0 x10 , x20 , ..., xn0 ,                          (            )
где                    (                          ) (
      x i0 = ϕ i t10 , t 20 , ..., t n0 , i = 1, n . Тогда сложная )
                                                                   функция (9)
дифференцируема в точке Т0 и частные её производные находятся по
формулам:

                                                                                                      ∂ xn
∂U
∂t i
            =
                ∂U
                ∂ x1
                            ⋅
                                ∂ x1
                                ∂t i
                                            +
                                                ∂U
                                                ∂ x2
                                                            ⋅
                                                                ∂ x2
                                                                ∂t i
                                                                            + ... +
                                                                                      ∂U
                                                                                      ∂ xn
                                                                                                  ⋅
                                                                                                      ∂t i
                                                                                                                  ,   (i = 1, n ).   (10)
       M0              M0              T0              M0              T0                    M0              T0


                                                  (
      Пример 11. U = f x + y , x 2 + y 2 . Найти частные производные этой     )
функции, если f – дифференцируемая функция в точке М(х, у).

            Решение: Обозначим x + y = t1 , x 2 + y 2 = t 2 , тогда
        (                              )
U = f x + y , x 2 + y 2 = f (t1 , t 2 ) , где t1 = x + y, t 2 = x 2 + y 2 . По формуле (10)
имеем:

∂U ∂U ∂t1 ∂U ∂t 2 ∂U ∂U
   =    ⋅   +     ⋅   =    +      ⋅ 2x ;
∂ x ∂ t1 ∂ x ∂ t 2 ∂ x ∂ t1 ∂ t 2

                                                                                                                                       38

Страницы