Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 42 стр.

       Определение: Прямая линия называется касательной к поверхности в
точке М0, если она является касательной к какой-нибудь кривой, лежащей на
поверхности и проходящей через точку М0.

         Так как через точку поверхности проходит бесчисленное множество
кривых, лежащих на поверхности, то и касательных прямых к поверхности,
проходящих через точку М0 будет бесконечно много.
         Определение: Если в точке М0 все три частные производные функции
            дF дF дF
F(x, y, z):   ,    ,    равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то
            дх ду дz
точка М0 называется особой точкой поверхности.

        Определение: Если в точке М0 все три частные производные
дF дF дF
   ,     ,     существуют и непрерывны и хотя бы одна из них отлична от
 дх ду дz
нуля, то точка М0 называется обыкновенной точкой поверхности.

         Теорема 14. Все касательные прямые к данной поверхности F(x, y, z) = 0
в её обыкновенной точке М0 лежат в одной плоскости. Эта плоскость
называется касательной плоскостью к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке М0.
         Можно показать, что уравнение касательной плоскости к поверхности
F(x, y, z) в обыкновенной точке М0(x0, y0, z0) имеет вид:

              дF ( M 0 )                дF ( M 0 )                дF ( M 0 )
                         ⋅ ( х − х0 ) +            ⋅ ( у − у0 ) +            ⋅ ( z − z 0 ) = 0.
                 дх                        ду                        дz

       Вектор

             дF ( M 0 ) дF ( M 0 ) дF ( M 0 ) 
       n =            ,          ,
                                       дz 
                                                         (
                                                = Fx′ (M 0 ), F y′ (M 0 ), Fz′ (M 0 )      )     (12)
             дх            ду

– нормальный вектор касательной плоскости, а, значит, он является
направляющим вектором для нормали к поверхности в точке М0(x0, y0, z0).
Поэтому уравнение нормали к поверхности F(x, y, z) = 0 в обыкновенной
точке М0(x0, y0, z0) имеет вид:
                             х − х0     у − у0      z − z0
                                      =           =           .
                            Fx′ (M 0 ) F y′ (M 0 ) Fz′ (M 0 )

      Пример 15. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
                     y                 π
поверхности z = arctg в точке М 0 1; 1;  .
                     x                 4


                                                                                                    42