Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1) если число 0
)()(
)()(
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
>=∆
ду
Mzд
дхду
Mzд
дхду
Mzд
дх
Mzд
, то в точке М
0
(х
0
, у
0
)
экстремум существует, причем, если
0
)(
2
0
2
>
дх
Mzд
, то М
0
– точка минимума,
если
0
)(
2
0
2
<
ду
Mzд
, то М
0
– точка максимума;
2) если число ∆
< 0, то в точке М
0
экстремум не существует;
3) если ∆ = 0, то в точке М
0
экстремум может быть, а может и не быть.
Для ответа нужны дополнительные исследования.
Алгоритм исследования функции на экстремум.
1. Находим область определения функции.
2. Находим все частные производные функции первого порядка и
приравниваем их к нулю и находим точки, в которых они не существуют.
3. Находим все частные производные второго порядка.
4. Вычисляем их значения в каждой критической точке.
5. Для каждой критической точки составляем число ∆.
6. На основании достаточного условия существования экстремума для каждой
критической точки функции делаем вывод о наличии экстремума.
Пример 18. Исследовать на экстремум функцию z = х
3
– 2у
3
– 3х + 6у.
Решение:
1. Область определения функции R
2
.
2. Найдём
66,33
22
+−=−= у
ду
дz
х
дх
дz
.
3. Решаем систему
±=
±=
⇒
=+−
=−
.1
,1
066
,033
2
2
у
х
у
х
Получаем критические точки: М
1
(1; 1), М
2
(1; –1), М
3
(–1; 1), М
4
(–1; –1).
4. Находим все частные производные второго порядка
48
                                      д 2 z( M 0 ) д 2 z( M 0 )
                                          дх 2        дхду
         1) если число ∆ =                                        > 0 , то в точке М0(х0, у0)
                                      д 2 z( M 0 ) д 2 z( M 0 )
                                         дхду          ду 2
                                                  д 2 z( M 0 )
экстремум существует, причем, если                               > 0 , то М0 – точка минимума,
                                                     дх 2
       д 2 z( M 0 )
если         2
                      < 0 , то М0 – точка максимума;
         ду
         2) если число ∆ < 0, то в точке М0 экстремум не существует;

       3) если ∆ = 0, то в точке М0 экстремум может быть, а может и не быть.
Для ответа нужны дополнительные исследования.

         Алгоритм исследования функции на экстремум.
1.   Находим область определения функции.
2.   Находим все частные производные функции первого порядка и
     приравниваем их к нулю и находим точки, в которых они не существуют.
3.   Находим все частные производные второго порядка.
4.   Вычисляем их значения в каждой критической точке.
5.   Для каждой критической точки составляем число ∆.
6.   На основании достаточного условия существования экстремума для каждой
     критической точки функции делаем вывод о наличии экстремума.

         Пример 18. Исследовать на экстремум функцию z = х3 – 2у3 – 3х + 6у.

      Решение:
1. Область определения функции R2.
2. Найдём

     дz                   дz
        = 3х 2 − 3,          = −6 у 2 + 6 .
     дх                   ду

3. Решаем систему

     3х 2 − 3 = 0,       х = ±1,
                       ⇒ 
      − 6 у 2 + 6 = 0    у = ±1 .

     Получаем критические точки: М1(1; 1), М2(1; –1), М3(–1; 1), М4(–1; –1).

4. Находим все частные производные второго порядка


                                                                                            48

Страницы