Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Решение:
x
y
x
y
y +
−=
′
2
1 – однородное уравнение первого порядка.
Делаем замену: ,
()
xxuy = uxuy
′
+
=
′
;
uuuxu
/
+−=
′
+
/
2
1
2
1 u
dx
du
x −= dxudux
2
1 −= ,
01,0,
1
2
2
≠−≠=
−
ux
x
dx
u
du
;
∫∫
=
−
x
dx
u
du
2
1
.
() ()
Cx
x
y
CxuCxu +=⇒+=⇒+=
lnsinlnsinlnarcsin ;
(
)
Cxxy += lnsin – общее решение уравнения.
В процессе решения мы делили обе части уравнения на
01
2
≠− u .
Пусть
⇒=− 01
2
u 1
±
=u , ⇒±=⇒ 1
x
y
x
y ±= . Проверим
подстановкой, являются ли функции
x
у
±
=
решениями уравнения. Подставляя
x
y ±= в уравнение, получим тождество: .11
±
=
±
Значит,
x
y ±= – ещё два
решения уравнения. Отметим, что они не могут быть получены из общего
решения уравнения ни при каком значении
С.
3.2.1.3 Линейные уравнения первого порядка
Уравнение вида
(
)
(
)
xgyxpy
=
+
′
(19)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Общее решение этого уравнения может быть найдено с помощью замены
() () ()
xvxuxy ⋅= ,
(
)()
(
)
(
)
(
)
xvxuxvxuxy
′
⋅
+
⋅
′
=
′
.
Подставим у и у′ в уравнение (19):
54
             Решение:
                       2
           y y
y ′ = 1 −   + – однородное уравнение первого порядка.
          x  x

Делаем замену: y = xu ( x ) , y ′ = u + xu ′ ;

                                                     du
u/ + xu ′ = 1 − u 2 + u/                         x      = 1 − u2                         x du = 1 − u 2 dx ,
                                                     dx
     du           dx
              =      , x ≠ 0,            1 − u2 ≠ 0 ;
    1 − u2         x

      du               dx
∫                 =∫
                        x
                          .
     1 − u2
                                                                                             y
arcsin u = ln x + C                  ⇒           u = sin (ln x + C )                 ⇒         = sin (ln x + C ) ;
                                                                                             x
y = x sin (ln x + C ) – общее решение уравнения.
        В процессе решения мы делили обе части уравнения на 1 − u 2 ≠ 0 .
                                           y
Пусть     1 − u2 = 0 ⇒     u = ±1 ,   ⇒      = ±1 ⇒ y = ± x . Проверим
                                           x
подстановкой, являются ли функции у = ± x решениями уравнения. Подставляя
y = ± x в уравнение, получим тождество: ± 1 = ±1. Значит, y = ± x – ещё два
решения уравнения. Отметим, что они не могут быть получены из общего
решения уравнения ни при каком значении С.


          3.2.1.3 Линейные уравнения первого порядка


             Уравнение вида
                                                         y ′ + p(x ) y = g (x )                                      (19)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

             Общее решение этого уравнения может быть найдено с помощью замены
y ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) , y ′( x ) = u ′( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′( x ) .

             Подставим у и у′ в уравнение (19):


                                                                                                                       54

Страницы