Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

⋅=
′
=
−
′
⇒⋅=
−
′
+
′
уравнения решение общее находим .)2
уравнения решение частное находим,0
cos
)1
cos
2
2
xtg
xtg
exctgvu
x
v
v
exctg
x
v
vuvu
1)
⇒=⇒=−
∫∫
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
22
cos
0
cos
0,ln
=
=
Ctgxv .
−=
tgx
ev подставляем в уравнение (2).
2) ⇒⋅=
xtgxtg
exctge
dx
du
⇒
⋅
= dx
x
ct
g
du
∫∫
⇒
⋅
=
x
dxx
du
sin
cos
Cxu
+
= sinln .
(
Cxey
xtg
+= sinln
)
– общее решение уравнения, подставляем в него начальное
условие
0
6
=
π
y :
0
6
sinln
6
sinln0
6
=+
+= CCe
tg
ππ
π
, 2ln
2
1
ln =−= CC .
Решение задачи Коши имеет вид:
()
2lnsinln += xey
xtg
или xey
xtg
sin2ln= . Так как 0
2
1
6
sin >=
π
, то
окончательно ответ можно записать в виде . xey
xtg
sin2ln=
3.3
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
(
)
0,,,
=
′
′
′
yyyxF . (21)
– обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
(
)
yyxfy
′
=
′
′
,, (22)
– уравнение, разрешённое относительно старшей производной.
Задача Коши для уравнения второго порядка:
требуется найти решение уравнения
(
)
yyxfy
′
=
′
′
,,, удовлетворяющее
начальным условиям
56
                                          −v
        −v                      1) v ′ 2 =0, находим частное решение уравнения
u ′v+u v ′ 2 =ctg x⋅ e tg x    ⇒       cos x
        cos x                  2) u ′v=ctg x ⋅ e tg x . находим общее решение уравнения
                                   

     dv   v                    dv    dx
1)      −
     dx cos 2 x
                =0 ⇒         ∫ v ∫ cos 2 x ⇒ ln v = tgx, C = 0 .
                                  =

v = e tgx − подставляем в уравнение (2).

     du tg x                                                                cos x ⋅ dx
2)
     dx
        e = ctg x ⋅ e tg x ⇒ du = ctg x ⋅ dx ⇒                ∫ du = ∫        sin x
                                                                                       ⇒ u = ln sin x + C .

y = e tg x (ln sin x + C ) – общее решение уравнения, подставляем в него начальное
         π 
условие y  = 0 :
         6
            π
       tg              π                 π                                    1
0=e         6    ln sin + C     ln sin       + C = 0,           C = − ln                C = ln 2 .
                       6                 6                                    2

Решение задачи Коши имеет вид:
                                                                                                π        1
y = e tg x (ln sin x + ln 2)     или           y = e tg x ln 2 sin x . Так как sin                   =     > 0 , то
                                                                                                 6       2
                                                                     tg x
окончательно ответ можно записать в виде y = e                              ln 2 sin x .


        3.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка


                                           F ( x, y, y ′, y ′′) = 0 .                                         (21)

                – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

                                                y ′′ = f ( x, y, y ′ )                                        (22)

                – уравнение, разрешённое относительно старшей производной.

                       Задача Коши для уравнения второго порядка:
требуется найти решение                    уравнения           y ′′ = f ( x, y, y ′ ) ,     удовлетворяющее
начальным условиям


                                                                                                                56

Страницы