Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

dxcexdy
x
∫∫
++−=
1
2
2
1
cos .
21
2
4
1
sin
cxcexy
x
+++−= – общее решение уравнения.
2.
()
0,, =
′
′
′
yyxF
)
– дифференциальное уравнение не содержит в явном
виде
, приводится к уравнению первого порядка заменой
(
xy
()
(
)
xzxy
=
′
,
.
()
xy
′′
()
xz
′
=
()
⇔
=
′′′
0,, yyxF
()
0,,
=
′
zzxF – дифференциальное уравнение
первого порядка с неизвестной функцией 2(
х).
Задача 5. Найти общее решение уравнения .x
x
y
y =
′
−
′′
Решение: Заменим
()
(
)
() ()
′
=
′′
=
′
xzxy
xzxy
– подставляем в уравнение.
Получим
x
x
z
z =−
′
– линейное уравнение первого порядка, решается заменой
v
uz ⋅= , . v
′
uvuz +
′
=
′
⇒=−
′
+
′
x
x
uv
vuvu
=
′
=−
′
⇒=
−
′
+
′
.)2
,0)1
xvu
x
v
v
x
x
v
vuvu
1) xvxv
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
=⇒=⇒=⇒=−
∫∫
lnln0.
x
v
±= – из двух решений xvxv
−
=
=
21
, выбираем одно (любое).
Пусть v = x.
2)
∫∫
=⇒=⋅ dxduxx
dx
du
, ⇒
1
cxu
+
=
.
() ()
()
.
21
2
1
2
1
2
1
∫∫
++=⇒+=⇒+=
′
⇒+= dxcxcxdyxcx
dx
dy
xcxxycxxz
2
2
1
3
23
cx
c
x
y ++= – общее решение уравнения.
58
                   1 2x      
∫ dy = ∫
         − cos x +
                    2
                      e  + c1  dx .
                              
                1 2x
y = − sin x +     e + c1 x + c 2 – общее решение уравнения.
                4
            2. F ( x, y ′, y ′′ ) = 0 – дифференциальное уравнение не содержит в явном
виде y ( x ), приводится к уравнению первого порядка заменой y ′( x ) = z ( x ) ,
y ′′( x ) = z ′( x ) .
            F ( x, y ′, y ′′) = 0 ⇔ F ( x, z , z ′ ) = 0 – дифференциальное уравнение
первого порядка с неизвестной функцией 2(х).

                                                                 y′
         Задача 5. Найти общее решение уравнения y ′′ −             = x.
                                                                 x
                               y ′( x ) = z ( x ) 
         Решение: Заменим                           – подставляем в уравнение.
                               y ′′( x ) = z ′( x )
                   z
Получим z ′−          = x – линейное уравнение первого порядка, решается заменой
                   x
z = u ⋅ v , z ′ = u ′v + uv ′ .
                        uv
          u ′v + uv ′ −      =x⇒
                         x

                                 v
              v       1) v ′ − = 0,
u ′v + u v ′ −  = x ⇒          x
              x       2) u ′v = x.

     dv v               dv   dx
1)     − =0 ⇒
     dx x              ∫v ∫x
                           =           ⇒ ln v = ln x     ⇒     v = x.

     v = ± x – из двух решений v1 = x, v 2 = − x выбираем одно (любое).

Пусть v = x.

     du
2)
     dx
        ⋅x=x ⇒       ∫ du = ∫ dx ,   ⇒ u = x + c1 .


                                                               ∫ dy = ∫ (x                  )
                                            dy 2
z = x ( x + c1 ) ⇒ y ′( x )= x 2 + c1 x ⇒      = x + c1 x ⇒                  2
                                                                                 + c1 x + c 2 dx.
                                            dx

   x 3 c1 2
y=    + x + c 2 – общее решение уравнения.
    3  2


                                                                                                58

Страницы