Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 76 стр.

       Определение: Знакопеременный ряд называется условно сходящимся,
если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
расходится.
                                           ∞
                                                 (− 1)n−1
       Пример 40. Ряд                     ∑                  является абсолютно сходящимся, т.к.
                                         n =1       n4
               ∞
                      (− 1)   n −1       ∞
                                                1
сходится ряд   ∑                     =∑             .
               n =1     n4               n =1 n
                                                4


                                          ∞
                                                (− 1)n−1
       Пример 41. Ряд
                               n
                                         ∑
                                     является условно сходящимся, т.к. сам
                                         n =1
сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей его членов
 ∞
     1
∑ n , расходится, как гармонический ряд.
n =1



     4.4 Функциональные ряды


       Определение: Ряд вида
                                                                                      ∞
                                     f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x ) + ... = ∑ f n ( x ) ,           (28)
                                                                                      n =1

членами которого являются функции, зависящие от х, определенные на
некотором множестве Д, называется функциональным.
       Если в функциональный ряд (28) подставить х из Д, то ряд превратится в
числовой. Для различных значений х из функционального ряда (28) будут
получаться различные числовые ряды, каждый из которых может быть как
сходящимся, так и расходящимся.
       Определение: Точка х = х0 называется точкой сходимости
                                     ∞                                          ∞
функционального ряда             ∑       f n ( x ), если числовой ряд          ∑ f n (x 0 ) сходится.
                                 n =1                                          n =1


       Определение:                  Точка          х    =   х1    называется             точкой     расходимости
                                     ∞                            ∞
функционального ряда             ∑ f n (x ), если ряд ∑ f n (x1 ) расходится.
                                 n =1                             n =1


       Определение: Совокупность всех точек сходимости функционального
ряда называется его областью сходимости.


                                                                                                              76