Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Среди функциональных рядов особое место занимают степенные ряды,
которые выделяются своей прикладной значимостью.
Определение: Функциональный ряд вида
∑
∞
=
=++++++
0
3
3
2
210
......
n
n
n
n
n
xаxаxаxаxаа ,
где – числовые коэффициенты, называется степенным рядом
по степеням х.
...,...,,,
21 n
ааа
Рассматривают также ряд вида
∑
∞
=
−=+−++−+−+
0
2
210
)(...)(...)()(
n
n
n
n
n
axаaxаaxаaxаа ,
где – постоянные. Этот ряд называется степенными
рядом по степеням (х – а).
...,...,,,,,
210 n
ааааа
Заметим, что ряд по степеням х сходится в точке х=0 и его сумма в этой
точке равна нулю. О существовании других точек сходимости, если они
существуют, говорит теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд
∑
∞
=0n
n
n
xа :
1) сходится при 0
0
≠
=
хх , то он сходится при всех х, удовлетворяющих
неравенству
0
x<х ;
2) расходится при х
= х
0
, то он расходится при всех х, удовлетворяющих
неравенству
0
xх > .
Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд сходится в одной
точке
, то он сходится во всех точках, принадлежащих интервалу
0
0
≠x
0
xx <
0
х <− .
4.5.1 Интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда
Рассмотрим степенной ряд
∑
∞
=0n
n
n
xa .
Определение: Число R > 0 называется радиусом сходимости степенного
ряда
, а интервал (– R; R) – интервалом сходимости этого ряда, если
∑
∞
=
0n
n
n
xa
Rх <:x∀ данный ряд сходится, а Rxx >
∀
: этот ряд расходится.
78
      Среди функциональных рядов особое место занимают степенные ряды,
которые выделяются своей прикладной значимостью.

         Определение: Функциональный ряд вида
                                                                                ∞
                                           2           3              n
                       а 0 + а1 x + а 2 x + а 3 x + ... + а n x + ... =        ∑ аn x n ,
                                                                               n =0
где а1 , а 2 , ..., а n , ... – числовые коэффициенты, называется степенным рядом
по степеням х.

         Рассматривают также ряд вида
                                                                                    ∞
              а 0 + а1 ( x − a ) + а 2 ( x − a ) 2 + ... + а n ( x − a) n + ... =   ∑ а n ( x − a) n ,
                                                                                    n=0

где а, а 0 , а1 , а 2 , ..., а n , ... – постоянные. Этот ряд называется степенными
рядом по степеням (х – а).
       Заметим, что ряд по степеням х сходится в точке х=0 и его сумма в этой
точке равна нулю. О существовании других точек сходимости, если они
существуют, говорит теорема Абеля.
                                                                ∞
         Теорема Абеля. Если степенной ряд                      ∑ аn x n :
                                                               n =0
1) сходится при х = х 0 ≠ 0 , то он сходится при всех х, удовлетворяющих
   неравенству х < x0 ;
2) расходится при х = х0, то он расходится при всех х, удовлетворяющих
   неравенству х > x0 .

       Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд сходится в одной
точке x 0 ≠ 0 , то он сходится во всех точках, принадлежащих интервалу
− х0 < x < x0 .


       4.5.1 Интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда


                                                   ∞
         Рассмотрим степенной ряд                 ∑ an x n .
                                                  n =0
         Определение: Число R > 0 называется радиусом сходимости степенного
        ∞
ряда   ∑ an x n ,      а интервал (– R; R) – интервалом сходимости этого ряда, если
       n =0
∀x : х < R данный ряд сходится, а ∀x : x > R этот ряд расходится.

                                                                                                         78

Страницы