Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 80 стр.

                                                1
Очевидно, что ∀х : х >                                      , степенной ряд расходится. Следовательно,
                                       lim      n   аn
                                       n →∞
                                1
получаем: R = lim                      .
                       n →∞ n   аn

       Мы установили, что ∀х : х < R степенной ряд сходится, а ∀х : х > R
этот ряд расходится. Не исследованными остаются только две точки x = ± R .
Изучив поведение ряда в этих двух точках, мы будем знать множество всех
точек сходимости, т.е. область сходимости степенного ряда.
                                                                                                       ∞
                                                                                                             xn
             Пример 44. Найти область сходимости степенного ряда                                       ∑      n
                                                                                                                       .
                                                                                                       n =0 2   n +1
             Решение: Найдем R с помощью признака Даламбера:
              1                             1
an =                  , a n +1 =                            . Найдем
         2n n + 1                   2 n +1 n + 2

          an          2 n +1 n + 2          n+2
R = lim         = lim n            = 2 lim        = 2,                                   т.е. R = 2,    следовательно,
    n →∞ a n +1   n →∞ 2     n +1      n →∞ n + 1


ряд сходится ∀ х < 2 или –2 < x < 2.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х = 2. Получим числовой ряд
 ∞                       ∞
             2n                 1                   1           1                  1
∑        n
                      =∑
                                n +1
                                           =1+              +       + .... +
                                                                                  n +1
                                                                                           + ...
n =0 2       ⋅ n +1     n =0                        2           3

                                                                                       1
– это обобщенный гармонический ряд с α =                                                 < 1 . Такой ряд расходится
                                                                                       2
(см. пример 38).
                                                ∞
                                                         (− 2)n             ∞
                                                                                  (− 1)n
Пусть х = – 2. Получим ряд                   ∑          n
                                                                       =   ∑       n +1
                                                                                             – это знакочередующийся
                                            n =0 2          ⋅ n +1         n =0
                                                         1 
ряд, который сходится по признаку Лейбница, т.к.               – убывающая и
                                                         n + 1
                1
 lim a n = lim       = 0 . Область сходимости данного ряда – полуинтервал [– 2; 2).
n→∞        n→∞ n + 1




                                                                                                                           80