Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 82 стр.

принадлежит этому множеству, то данный ряд при х = 1 сходится, т.е. числовой
     ∞
            1
ряд ∑ n            сходится.
    n =0 2 ⋅ n + 1


      Замечания:
      1 Существуют степенные ряды, которые имеют только одну точку
сходимости х = 0.
                                ∞
           Например, ряд       ∑ n n⋅ x n    сходится только при х = 0. Для любого другого х ≠ 0
                               n =1

lim   n   n n ⋅ x n = lim n x = ∞ > 1 , т.е. по радикальному признаку Коши ряд
n→∞                    n →∞
расходится при ∀ х ≠ 0 .

           2 Существуют ряды, которые сходятся для любого x ∈ R .
                               ∞
                                   xn
           Например, ряд      ∑ n . По радикальному признаку                                              Коши
                              n =1 n

          xn            x
lim   n        = lim        = 0 < 1, ∀ x ∈ R , следовательно, степенной ряд сходится для
n→∞  n n n →∞ n
любого x ∈ R .


          4.6 Ряд Тейлора


        В предыдущем разделе мы рассмотрели задачу о сходимости
функционального ряда, т.е. задачу о существовании суммы функционального
ряда в некоторой области.
        Поставим обратную задачу: дана функция f(x). Требуется найти такой
степенной ряд, который в некоторой области сходился бы и имел f(x) своей
суммой.

       Определение: Пусть функция f(x) определена и дифференцируема
бесконечное число раз в окрестности точки х = а и пусть существует степенной
ряд

                        а 0 + а1 ( х − а ) + а 2 ( х − а )2 + ... + а n ( x − a )n + ...

такой, что

 ∀x ∈ (a − δ ; a + δ ) ⇒              f ( x ) = а 0 + а1 ( x − a ) + а 2 ( x − a )2 + ... + а n ( x − a )n + ...


                                                                                                               82