Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 84 стр.

                           f ′(a )    f ′′(0) 2        f (n ) (0) n
         f ( x ) = f (0) +         х+        х + ... +           х + ...               ∀х (− δ ; δ ) .
                             1!         2!                n!

         Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
1.   Найти производные функции f(x) до n-го порядка включительно.
2.   Вычислить значения этих производных при х = 0.
3.   Найти интервал сходимости полученного ряда.
4.   Найти, те точки из интервала сходимости, в которых остаток ряда стремится
     к нулю при n → ∞.

         Пример 47.

         1. Пусть f ( x ) = e x , a = 0 .

         Найдем f ′( x ) = f ′′( x ) = f ′′′( x ) = ... = f (n ) ( x ) = ... = e x . Тогда

f (0 ) = f ′(0 ) = f ′′(0 ) = ... = f   n
                                            (0 ) = 1
и ряд Маклорена для функции f ( x ) = e x имеет вид:

             x x2 x3            xn
ex ~1+         +   +    + ... +    + ...
             1! 2!   3!         n!
Найдем радиус сходимости этого ряда

              аn         1 (n + 1)!
R = lim            = lim :          = lim (n + 1) = ∞ ,
      n →∞   а n +1 n →∞ n!   1       n →∞


т.е. ряд сходится ∀x ∈ R . Можно показать, что ∀x ∈ (− ∞; + ∞ ) остаток этого
ряда после n-го члена стремится к нулю. Это значит, что

     x x2          xn
 x
e =1+ +    + ... +    + ... ∀x ∈ (− ∞; + ∞ ) .
     1! 2!         n!

Это равенство означает, что, подставив в правую часть равенства вместо х
любое число, получим сходящийся числовой ряд, сумма которого равна
соответствующему значению левой части.

Пусть х = 1. Получим равенство:

     1 1 1        1
1+     + + + ... + + ... = e .
     1! 2! 3!     n!

                                                                                                         84