Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

() ()( )
(
)
(
)()()
..
!
1...21
...
!3
21
!2
1
!1
1
32
+
−−
−
−
++
−
−
+
−
++
n
x
n
nmmmm
x
mmm
x
mm
mx
Найдем интервал сходимости этого ряда:
()( )
(
)
(
)
()( )( )( )
1
1
lim
1...21
!11...21
limlim
1
=
−
+
=
−+−−−
+⋅+−−−
==
∞→∞→
+
∞→
nm
n
nmnmmmm
nnmmmm
C
C
R
nn
n
n
n
.
Значит, полученный ряд сходится
(
)
1;1
−
∈
∀
x . Можно показать, что
()
(
)
(
)
(
)
(
)
...
!
1...21
...
!2
1
!1
11
2
+
+
−
−
−
++
−
++=+
n
m
x
n
nmmmm
x
mmmx
x
для
, для некоторых значений m ряд может сходиться и в граничных
точках этого интервала. Этот ряд называется биномиальным.
(
1;1−∈∀x
)
Рассмотрим некоторые частные случаи биноминального ряда:
1) Пусть m – целое положительное число. Тогда
() ( )
() ( )( )
() ( )( )( )
()
()()( ) ()()()()()
()
0
!123...2111...21
....................................................
121
11
1
1
3
2
1
=
=⋅⋅−−=+−−−−=
+−−=
′′′
+−=
′′
+=
′
+
−
−
−
−
m
mm
m
m
m
m
f
mmmmxmmmmmxf
xmmmxf
xmmxf
xmxf
и все остальные производные обращаются в ноль при любом х.
Найдем
() ()
(
)
(
)
(
)
!0...,,10,0,10 mfmmfmff
m
=+=
′′
=
′
=
Получим формулу бинома Ньютона
()
(
)
m
m
xx
mm
mxx ++
−
++=+ ...
!2
1
11
2
.
2) Пусть m
= – 1. Тогда
() ()
()
(
)
(
)
(
)
(
)( )
++
⋅−⋅−⋅−
+
⋅−⋅−
+
⋅−
+=+=
+
=
−
...
!3
321
!2
21
!1
1
11
1
1
32
1
xxx
x
x
xf
86
     mx m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2 ) 3       m(m − 1)(m − 2 )...(m − (n − 1)) n
1+      +       x +                x + ...+                                 x + ..
     1!   2!             3!                              n!

Найдем интервал сходимости этого ряда:

            Cn           m(m − 1)(m − 2 )...(m − n + 1) ⋅ (n + 1)!        n +1
R = lim           = lim                                            = lim        = 1.
      n →∞ C n +1   n →∞ m(m − 1)(m − 2 )...(m − n + 1)(m − n )      n →∞ m − n


Значит, полученный ряд сходится ∀x ∈ (− 1; 1) . Можно показать, что


(1 + x )m = 1 + mx + m(m − 1) x 2 + ... + m(m − 1)(m − 2 )...(m − n + 1) x n                   + ...
                     1!           2!                                 n!

для ∀x ∈ (− 1; 1) , для некоторых значений m ряд может сходиться и в граничных
точках этого интервала. Этот ряд называется биномиальным.
       Рассмотрим некоторые частные случаи биноминального ряда:

           1) Пусть m – целое положительное число. Тогда

f ′( x ) = m (1 + x )m −1
f ′′( x ) = m (m − 1)(1 + x )m − 2
 f ′′′( x ) = m (m − 1)(m − 2 )(1 + x )m −3
....................................................
f (m ) ( x ) = m (m − 1)(m − 2 ) ... (m − (m − 1))(1 + x )m − m = m (m − 1)(m − 2 ) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = m!
f (m +1) = 0

и все остальные производные обращаются в ноль при любом х.

Найдем f (0) = 1,             f ′(0) = m,        f ′′(0) = m(m + 1), ...,   f   m
                                                                                    (0) = m!
Получим формулу бинома Ньютона

(1 + x )m = 1 + mx + m(m − 1) x 2 + ... + x m .
                                  2!

           2) Пусть m = – 1. Тогда

           1                    (− 1) ⋅ x (− 1) ⋅ (− 2 ) ⋅ x 2 (− 1) ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 3) ⋅ x 3
 f (x ) =      = (1 + x ) = 1 +
                         −1
                                         +                    +                             + ... +
          1+ x                     1!              2!                      3!


                                                                                                       86

Страницы