Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2. . Найдем
()
xxf sin=
()
+==
′
2
sincos
π
xxxf
()
⋅+=−=
′′
2
2sinsin
π
xxxf
()
⋅+=−=
′′′
2
3sincos
π
xxxf
()
⋅+==
2
4sinsin
π
xxxf
IV
………………………………
()
()
⋅+=
2
sin
π
nxxf
n
………………………………
Вычислим
() () ()
(
)
(
)
(
)
()
()
(
)
.10,00...,,00,10,10,00
122
k
kkIV
ffffff −===−=
′′′
=
′
=
−
Ряд Маклорена для f(x) = sin x имеем вид:
()
...
12
1...
!5!3!1
~sin
12
1
53
+
−
−++−
−
−
n
xxxx
x
n
n
Можно показать, что
()
+
∞∞−∈ ,x∀ справедливо равенство
()
()
...
!12
1...
!7!5!3!1
sin
12
1
753
+
−
−++++−=
−
−
n
xхxxx
x
n
n
Аналогично можно получить
()
()
()
∞+∞−∈∀+
−
−+−+−=
−
−
;...
!22
1...
!4!2
1cos
22
1
42
x
n
xxx
x
n
n
.
3. Рассмотрим функцию
(
)
(
)
m
xxf += 1.
Ряд Маклорена для функции будет иметь вид:
85
             2. f ( x ) = sin x . Найдем

                          π
f ′( x ) = cos x = sin x + 
                          2

                                 π
f ′′( x ) = − sin x = sin x + 2 ⋅ 
                                 2

                                  π
f ′′′( x ) = − cos x = sin x + 3 ⋅ 
                                  2

f   IV
         (x ) = sin x = sin x + 4 ⋅ π 
                                          2
………………………………
                          π
f (n ) ( x ) = sin x + n ⋅ 
                          2
………………………………

Вычислим

f (0) = 0,       f ′(0) = 1,       f ′′′(0) = − 1,   f   IV
                                                              (0) = 0,   ...,    f (2k ) (0) = 0,   f (2k −1) (0) = (− 1)k .

Ряд Маклорена для f(x) = sin x имеем вид:

                                    2 n −1
       x x3 x5               n −1 x
sin x ~ −    +    + ...(− 1)               + ...
       1! 3!   5!                 2n − 1

Можно показать, что ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) справедливо равенство

            x x3 x5 х7                          x 2 n −1
sin x =       −   +    +    + ... + (− 1)n −1            + ...
            1! 3!   5!   7!                   (2n − 1)!
Аналогично можно получить
                                       2n −2
            x2 x4               n −1 x
cos x = 1 −   +   − ... + (− 1)                 + ...                           ∀x ∈ (− ∞; + ∞ ) .
            2! 4!                   (2n − 2 ) !
      3. Рассмотрим функцию f ( x ) = (1 + x )m .
Ряд Маклорена для функции будет иметь вид:



                                                                                                                          85

Страницы