Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Тогда говорят, что функция f(x) разложена в степенной ряд на интервале
()
δ
δ
+− aa ;.
Теорема 30. Если функция на
(
)
δ
δ
+
−
aa ; разложена в степенной ряд
по степеням
(
, то такое представление единственно.
)
ах −
Теорема 31. Если f(x) определена на
(
)
δ
δ
+
−
aa ; и имеет на этом
интервале производные всех порядков, то степенной ряд для нее имеет вид:
() ()
()
()
(
)
()
(
)
()
++−⋅
′
′
′
+−⋅
′
′
+−⋅
′
+ ...
!3!2!1
~
32
ax
af
ax
af
ax
af
afxf
()
()
() ()
(
)
(
)
()
n
n
n
n
n
ax
n
af
afax
n
af
−⋅+=+−⋅+
∑
∞
=
1
!
...
!
и называется рядом Тейлора для функции f(x) на
(
)
δ
δ
+
−
aa ;
Ряд Тейлора можно составить для любой функции, которая в
()
δ
δ
+− aa ;
имеет производные всех порядков, но этот ряд не всегда
сходится и тем более не всегда f(x) является его суммой.
Теорема 32 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда
Тейлора). Для того, чтобы ряд Тейлора для функции f(x) сходился к ней самой
на интервале сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всех х из
этого интервала остаток ряда R
n
(x) стремился к нулю при n → ∞, т.е.
.
()
0lim =
∞
→
xR
n
n
Если в ряде Тейлора для функции f(x) а
= 0, то полученный ряд
принимает вид:
() ()
(
)
(
)
n
n
n
x
n
f
fxf ⋅+
∑
∞
=
1
!
0
0~
и называется рядом Маклорена для функции f(x).
Если
()
δ
δ
+
−
∈∀ аax ; остаточный член ряда Тейлора для функции
f(x) стремится к нулю, то пишут
() ()
()
(
)
() (
∑
∞
=
+−∈∀−⋅+=
1
;
!
n
n
n
аaxax
n
af
afxf
δδ
)
.
Поставим задачу: разложить в ряд Маклорена некоторые элементарные
функции.
Ряд Маклорена имеет вид:
83
Тогда говорят, что функция f(x) разложена в степенной ряд на интервале
(a − δ ; a + δ ) .
       Теорема 30. Если функция на (a − δ ; a + δ ) разложена в степенной ряд
по степеням ( х − а ), то такое представление единственно.

       Теорема 31. Если f(x) определена на (a − δ ; a + δ ) и имеет на этом
интервале производные всех порядков, то степенной ряд для нее имеет вид:
                      f ′(a )              f ′′(a )                f ′′′(a )
f ( x ) ~ f (a ) +            ⋅ (x − a ) +          ⋅ ( x − a )2 +           ⋅ ( x − a )3 + ... +
                        1!                   2!                       3!

            f (n ) (a )                               ∞
                                                          f (n ) (a )
          +             ⋅ ( x − a ) + ... = f (a ) + ∑
                                   n
                                                                      ⋅ ( x − a )n
               n!                                    n =1    n!

и называется рядом Тейлора для функции f(x) на (a − δ ; a + δ )
         Ряд Тейлора можно составить для любой функции, которая в
(a − δ ; a + δ ) имеет производные всех порядков, но этот ряд не всегда
сходится и тем более не всегда f(x) является его суммой.

       Теорема 32 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда
Тейлора). Для того, чтобы ряд Тейлора для функции f(x) сходился к ней самой
на интервале сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всех х из
этого интервала остаток ряда Rn(x) стремился к нулю при n → ∞, т.е.
lim R n ( x ) = 0 .
n →∞
      Если в ряде Тейлора для функции f(x) а = 0, то полученный ряд
принимает вид:
                                         ∞
                                             f (n ) (0) n
                      f ( x ) ~ f (0) + ∑              ⋅x
                                        n =1    n !

и называется рядом Маклорена для функции f(x).

        Если ∀x ∈ (a − δ ; а + δ ) остаточный член ряда Тейлора для функции
f(x) стремится к нулю, то пишут

                            f (n ) (a )
                                     ∞
                 f ( x ) = f (a ) + ∑   ⋅ ( x − a )n ∀x ∈ (a − δ ; а + δ ) .
                       n =1    n  !
      Поставим задачу: разложить в ряд Маклорена некоторые элементарные
функции.
      Ряд Маклорена имеет вид:


                                                                                                    83

Страницы