Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 42. Рассмотрим ряд
∑
∞
=1
1
n
х
n
. При всех x
> 1 будем иметь
обобщенный гармонический ряд сходящийся. Значит область сходимости этого
ряда
.
()
∞+∈∀ ;1х
Пример 43. Найти область сходимости ряда
(
)
∑
∞
=
⋅
⋅+
1
2
1
n
n
n
n
xn
.
Решение: Найдем сначала множество значений х, для которых данный
ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд
(
)
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
⋅
+
=
⋅
+
111
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
Ux
n
n
n
xn
.
Применим признак Даламбера и найдем, для каких значений х ряд
сходится. Этот ряд будет сходиться, если
∑
∞
=
1n
n
U 1lim
1
<
+
∞→
n
n
n
U
U
, т.е.
()
() ()
1
121
22
lim
1
1
<
⋅+⋅+
⋅⋅+
+
+
∞→
nn
n
n
n
xnn
nxn
или
(
)
()
1
1
2
lim
2
2
<
+
+⋅
∞→
n
nn
x
n
21
2
<⇒< x
x
⇒ .
Данный функциональный ряд абсолютно сходится
2:
<
∀
xх , т.е. при – 2 < x < 2.
При
2>x данный ряд расходится. Исследуем ряд в точках 2±=
x
.
Пусть х
= 2. Получим числовой ряд
∑
∞
=
+
1
1
n
n
n
, который расходится, т.к.
01
1
limlim ≠=
+
=
∞→∞→
n
n
a
n
n
n
, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости.
При х
= – 2, получает знакочередующийся ряд
()
()
∑∑
∞
=
∞
=
+
⋅−=
⋅
−⋅+
11
)1(
1
2
2)1(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, который расходится по той же причине.
Вывод: Областью сходимости данного ряда является интервал (–2; 2).
4.5 Степенные ряды
77
                                                           ∞
                                                                 1
            Пример 42. Рассмотрим ряд                     ∑        х
                                                                       . При всех x > 1 будем иметь
                                                          n =1 n
обобщенный гармонический ряд сходящийся. Значит область сходимости этого
ряда ∀х ∈ (1; + ∞ ) .

                                                                                 ∞
                                                                                        (n + 1) ⋅ x n .
            Пример 43. Найти область сходимости ряда                             ∑
                                                                                 n =1      n ⋅ 2n
       Решение: Найдем сначала множество значений х, для которых данный

ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд ∑
                                            ∞
                                               (n + 1)x n
                                                           =∑
                                                              ∞
                                                                  n +1 n ∞
                                                                          x = ∑U n .
                                                      n                 n
                                           n =1 n ⋅ 2        n =1 n ⋅ 2       n =1
Применим признак Даламбера и найдем, для каких значений х ряд
 ∞                                                    U n +1
∑ U n сходится. Этот ряд будет сходиться, если nlim
                                                  →∞ U n
                                                             < 1 , т.е.
n =1

         (n + 2 ) x n +1 ⋅ n ⋅ 2 n                    x          n ⋅ (n + 2 )                       x
lim                                    < 1 или            lim                     <1 ⇒                  <1 ⇒   x < 2.
n → ∞ (n + 1) ⋅ 2 n +1 (n + 1) ⋅ x n                  2   n →∞     (n + 1)   2                      2


Данный функциональный ряд абсолютно сходится ∀х : x < 2 , т.е. при – 2 < x < 2.
При x > 2 данный ряд расходится. Исследуем ряд в точках x = ±2 .

                                                  ∞
                                                     n +1
Пусть х = 2. Получим числовой ряд                ∑        , который расходится, т.к.
                                                 n =1 n
                 n +1
lim a n = lim         = 1 ≠ 0 , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости.
n→∞           n→∞ n




При х = – 2, получает знакочередующийся ряд

∞
       ( n + 1) ⋅ (− 2 )n     ∞
                                           ( n + 1)
∑                           = ∑ (− 1)n ⋅            , который расходится по той же причине.
n =1        n ⋅ 2n           n =1              n

Вывод: Областью сходимости данного ряда является интервал (–2; 2).


          4.5 Степенные ряды




                                                                                                                 77

Страницы