Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

где F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [а; b].
Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
()
()
()
()
.4ln
2
1
18
01ln
2
1
31ln
2
1
2
0
2
3
1ln
2
1
2
1
2
2
1
11
2
2
22
3
0
2
3
0
2
3
0
2
3
0
3
0
2
3
0
2
⋅+=+⋅−
−
+⋅+−=+⋅+=
=
+
+=
+
+
+
=
∫∫∫∫
π
arctgarctg
x
xarctg
dx
x
x
arctgxarctgxddx
x
x
dx
x
arctgx
J
б) Вычислить
dx
xtg
xtg
∫
+
−
16
1
arccos
0
2
2
5
13
.
Решение: Применим метод замены переменной. Не нужно забывать, что
при замене переменной в определённом интеграле меняются и пределы
интегрирования. Пусть
t
arct
g
x
t
tgx
=
⇒= и
2
1
t
dt
dx
+
= . Меняем пределы
интегрирования: при х = 0 t = tg0 = 0, при
6
1
=
x arccos :
()
()
(
)
5
1
arccoscos1
arccoscos
arccossin
6
1
arccos
6
1
6
1
6
1
6
1
2
6
1
6
1
=
−
=
−
==
= tgt .
Получим
()()
.
15
13
5
13
6
1
arccos
0
5
0
22
2
2
2
Jdt
tt
t
dx
xtg
xtg
=⋅
+⋅+
−
=⋅
+
−
∫∫
Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей.
92
где F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [а; b].

           Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
       3                      3                       3                                   3
           arctgx                   x                               1                             2x
J=    ∫                dx +   ∫          dx = ∫ arctgxd (arctgx ) +                      ∫ 1 + x2           dx =
      0    1 + x2             0   1 + x2      0
                                                                    2                    0


                  3
  arctg 2 x
                              (         )         arctg 2 3 arctg 2 0 1 
                                                                                                            ( 3 )2  −
                       1                    3
=                     + ⋅ ln 1 + x 2            =          −         + ⋅ ln1 +
     2        0
                       2                    0         2        2      2 


    1                π2 1
−     ⋅ ln (1 + 0) =   + ⋅ ln 4.
    2                18 2

                                          1 
                                   arccos    
                                          16 
                                                  3tg 2 x − 1
           б) Вычислить                 ∫         tg 2 x + 5
                                                                        dx .
                                        0

       Решение: Применим метод замены переменной. Не нужно забывать, что
при замене переменной в определённом интеграле меняются и пределы
                                                            dt
интегрирования. Пусть tgx = t ⇒ x = arctg t и dx =              . Меняем пределы
                                                         1+ t 2
                                                       1 
интегрирования: при х = 0 t = tg0 = 0, при x = arccos    :
                                                       6


               1  sin arccos                  ( )
                                                 1             1 − cos 2 arccos       ( )
                                                                                        1
                                                                                                   1−       1

                                                ( )=
                                                  6                                      6                  6
t = tg arccos    =                             1                             1
                                                                                              =        1
                                                                                                                = 5.
               6  cos arccos                    6                             6                       6


                     1 
              arccos   
                     6                                  5
                              3tg 2 x − 1                              3t 2 − 1
Получим                ∫      tg 2 x + 5
                                            ⋅ dx =    ∫       (t   2
                                                                          )(
                                                                       + 5 ⋅ t2 +1  ) ⋅ dt = J .
                       0                              0


Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей.




                                                                                                                           92

Страницы