ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Получим
()
43
2125
3
43
2125
3
43
2
2
2
23
2
23
4
+−⋅
+−
++=
+−
+−
++=
+−
+
xxx
xx
x
xxx
xx
x
xxx
x
.
Разложим
правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей
(
)
(
)
(
)
(
)
43
43
4343
2125
2
2
22
2
+−⋅
+⋅++−⋅
=
+−
+
+=
+−⋅
+−
xxx
CBxxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
xx
.
Сравнивая дроби, получим
(
)
()
CBxxxxAxx +⋅++−⋅=+− 43212
22
5 .
Подставим в обе части х = 0, получим 2 = 4А, следовательно,
2
1
=А .
Сравним коэффициенты при х
2
, получим 5 = А + В, следовательно, В = 4,5.
Сравним коэффициенты при х, получим –12
= –3А + С, следовательно, С = –10,5.
Получим
()
43
5,105,45,0
43
2125
22
2
+−
−
+=
+−⋅
+−
xx
x
x
xxx
xx
.
Подынтегральная функция примет вид:
43
73
2
3
2
1
3
43
2
223
4
+
−
−
⋅+++=
+−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Последнюю дробь преобразуем так, чтобы в числителе была производная от
знаменателя
()
()
4
7
2
2
3
22
2
3
2
1
4
15
43
32
4
9
43
5,232
2
3
43
73
3
2
+−
⋅−
+−
−
⋅=
+−
−−⋅
⋅=
+−
−
⋅
x
xx
x
xx
x
xx
x
.
Итак, получим
()
4
7
2
2
3
223
4
1
4
15
43
32
4
9
2
1
3
43
2
+−
⋅−
+−
−
⋅+++=
+−
+
x
xx
x
x
x
xxx
x
.
Теперь найдем искомый интеграл:
()
=⋅
+−
⋅−
+−
−
⋅+++=
∫
dx
x
xx
x
x
xJ
4
7
2
2
3
2
1
4
15
43
32
4
9
2
1
3
90
x4 + 2 5 x 2 − 12 x + 2 5 x 2 − 12 x + 2 = x +3+ = x +3+ Получим x 3 − 3x 2 + 4 x x 3 − 3x 2 + 4 x ( x ⋅ x 2 − 3x + 4 ). Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей 5 x 2 − 12 x + 2 A = + 2 Bx + C = ( A ⋅ x 2 − 3x + 4 + x ⋅ (Bx + C ) . ) ( x ⋅ x 2 − 3x + 4 ) x x − 3x + 4 x ⋅ x 2 − 3x + 4 ( ) Сравнивая дроби, получим 5 x 2 − 12 x + 2 = A ⋅ (x 2 − 3x + 4) + x ⋅ (Bx + C ) . 1 Подставим в обе части х = 0, получим 2 = 4А, следовательно, А =. 2 Сравним коэффициенты при х2, получим 5 = А + В, следовательно, В = 4,5. Сравним коэффициенты при х, получим –12 = –3А + С, следовательно, С = –10,5. 5 x 2 − 12 x + 2 0,5 4,5 x − 10,5 = + 2 Получим ( x ⋅ x 2 − 3x + 4 ) x x − 3x + 4 . Подынтегральная функция примет вид: x4 + 2 1 3 3x − 7 = x +3+ + ⋅ 2 . x 3 − 3x 2 + 4 x 2 x 2 x − 3x + 4 Последнюю дробь преобразуем так, чтобы в числителе была производная от знаменателя 3 2 ⋅ (2 x − 3) − 2,5 9 3 2 3x − 7 2x − 3 15 1 ⋅ 2 = ⋅ = ⋅ − ⋅ . 3 x − 3x + 4 2 x 2 − 3x + 4 4 x 2 − 3x + 4 4 (x − 3 )2 + 7 2 4 x4 + 2 1 9 2x − 3 15 1 Итак, получим = x +3+ + ⋅ 2 − ⋅ . 3 2 x − 3x + 4 x 2 x 4 x − 3x + 4 4 x − 3 2 + 7 2 4 ( ) Теперь найдем искомый интеграл: 1 9 2x − 3 15 1 J = ∫x + 3+ + ⋅ 2 − ⋅ ⋅ dx = 2 x 4 x − 3 x + 4 4 x − 3 + 7 2 ( ) 2 4 90
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »