ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
()
.1ln
4
1
2
1
4
4
1
2
1
2
1
2
22
2
2
1
1
42
2
4
3
2
2
4
3
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
Cxxarctg
x
dx
x
x
xarctg
x
x
dxx
xarctg
x
x
dxx
x
arctgx
x
x
vdvdxx
dxx
x
duxarctgu
dxxarctgx
++−=
+
−=
=
+
−=
+
/
⋅
/
−⋅=
=
=⇒=
⋅
+
=⇒=
=⋅
∫
∫∫
∫
Замечание
(
)
Cxdx
x
x
++=
+
∫
4
4
3
1ln
1
4
, т.к. в числителе
подынтегральной дроби стоит производная знаменателя.
П р о в е р к а.
Найдем
()
23
44
2
242
2
4
1
1
4
1
1
2
2
1ln
4
1
2
xarctgxx
xx
xx
xarctgxCxxarctg
x
=
/
⋅
+
⋅
/
−
+
/
⋅
/
+⋅=
′
++⋅− .
г) Jdx
xxx
x
=
+
−
+
∫
43
2
23
4
.
Решение: Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная
дробь. Выделим целую часть и представим подынтегральную функцию в виде
суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
2125
1293
243
43
3
43|
2
2
23
23
234
23
4
+−
+−
+−
+−
+
+−
+
xx
xxx
xx
xxx
x
xxx
x
89
1 u = arctg x 2 ⇒ du = 4 ⋅ 2 x dx 1+ x ∫ x ⋅ arctg x 2 dx = = 2 x x dx = dv ⇒ v = 2 x2 x 2 2/ x dx x 2 x 3 dx = ⋅ arctgx − ∫ 2 ⋅ = arctg x − ∫ 2 = 2 2/ 1 + x 4 2 1 + x4 = x2 2 2 1 arctg x − ∫ 4x 3 4 1 + x4 dx = x2 2 arctg x 2 1 − 4 ln 1 + x 4 + C. ( ) Замечание 4x 3 ∫ 1 + x4 ( dx = ln 1 + x 4 + C , ) т.к. в числителе подынтегральной дроби стоит производная знаменателя. П р о в е р к а. Найдем ′ x2 2 1 4 ( ) 2 x 2 2/ x 1 1 3 2 2 arctg x − 4 ⋅ ln 1+ x +C = x ⋅ arctg x + 2/ ⋅ 1+ x 4 − 4/ ⋅ 1+ x 4 ⋅ 4/ x = x arctg x . x4 + 2 г) ∫ x 3 − 3x 2 + 4 x dx = J . Решение: Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть и представим подынтегральную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. 4 | x 3 − 3x 2 + 4 x x +2 x+3 x 4 − 3x 3 + 4 x 2 3x 3 − 4 x 2 + 2 3x 3 − 9 x 2 + 12 x 5 x 2 − 12 x + 2 89
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »