Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
=+
−
⋅⋅−+−⋅+⋅++= C
x
arctgxxxx
x
4
7
2
3
4
7
2
2
1
4
15
43ln
4
9
ln
2
1
3
2
()
C
x
arctgxxxx
x
+
−
⋅−+−⋅+⋅++=
7
32
72
15
43ln
4
9
ln
2
1
3
2
2
2
.
П р о в е р к а.
Найдем J′:
(
)
=⋅⋅−
+−
−
⋅+++=
=⋅
+
⋅−
+−
−
⋅+++=
′
+−
−
7
16124
2
2
7
32
2
2
1
7
2
72
15
43
32
4
9
2
1
3
7
2
1
1
72
15
73
32
4
9
2
1
3
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xJ
=
+−
−−
⋅+++=
+−
⋅−
+−
−
⋅+−+=
43
152718
4
1
2
1
3
43
1
4
15
43
32
4
9
2
1
3
222
xx
x
x
x
xxxx
x
x
x
()
=
+−
−++−++−++−
=
=
+−
−
⋅+
++
=
+−
−
⋅+++=
432
2194324186862
43
219
2
1
2
162
43
4218
4
1
2
1
3
2
2223234
2
2
2
xxx
xxxxxxxxxx
xx
x
x
xx
xx
x
x
x
()()
.
43
2
432
42
2
4
2
4
+−
+
=
+−
+
=
xxx
x
xxx
x
Значит, интеграл найден верно.
Задача. Вычислить определенные интегралы
а)
.
1
3
0
2
Jdx
x
xarctgx
=
+
+
∫
Решение: Для вычисления определенного интеграла применяем
формулу Ньютона-Лейбница
),()()()( аFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
91
                                                      x − 32
=
  x2
  2
            1        9      2
                                         (
                                        15 1
     + 3 x + ⋅ ln x + ⋅ ln x − 3 x + 4 − ⋅
            2        4                   4  7
                                              ⋅ arctg    )
                                                         7
                                                             +C =
                                                                           4                   4



=
  x2
  2
           1
           2
                    9
                    4
                                     (
     + 3x + ⋅ ln x + ⋅ ln x 2 − 3 x + 4 −
                                           15
                                          2 7
                                              ⋅ arctg)2x − 3
                                                         7
                                                             +C.



П р о в е р к а.
Найдем J′:
                   1 9    2x − 3    15     1                                           2
J ′= x + 3 +         + ⋅ 2        −    ⋅                                           ⋅       =
                  2 x 4 x − 3x + 7 2 7 1 + 2 x −3                ( )   7
                                                                               2
                                                                                       7


                  1 9    2x − 3    15   2                              1
= x + 3+            + ⋅ 2        −    ⋅    ⋅                       2
                                                                                       =
                 2 x 4 x − 3x + 4 2 7    7                       4 x −12 x +16
                                                                      7

                  1 9     2x − 3  15    1               1 1 18 x − 27 − 15
= x + 3−            + ⋅ 2        − ⋅ 2         = x +3+    + ⋅              =
                 2 x 4 x − 3x + 4 4 x − 3x + 4         2 x 4 x 2 − 3x + 4

          1 1 18 x − 42       2 x 2 + 6 x + 1 1 9 x − 21
= x + 3+    + ⋅             =                + ⋅ 2         =
         2 x 4 x 2 − 3x + 4         2x        2 x − 3x + 4


    2 x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x 3 − 18 x 2 + 24 x + x 2 − 3x + 4 + 9 x 2 − 21x
=                                                                                                  =
                                         (   2
                                    2 x x − 3x + 4       )
           2x 4 + 4                x4 + 2
=                         =                      .
       (
    2 x x 2 − 3x + 4     ) x(x 2 − 3x + 4)
            Значит, интеграл найден верно.
            Задача. Вычислить определенные интегралы
                  3
                      arctgx + x
            а)    ∫    1 + x2
                                   dx = J .
                  0

      Решение: Для вычисления                                определенного                     интеграла   применяем
формулу Ньютона-Лейбница
                                    b                        b
                                    ∫    f ( x ) dx = F ( x ) = F (b) − F ( а ),
                                                             a
                                    a


                                                                                                                  91

Страницы