Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 4 стр.

                                     1 Линейные операторы


1.1 Основные определения


       Определение 1. Оператором f, действующим из линейного пространства
U в линейное пространство V (пишут f : U → V ), называется правило (закон),
по которому каждому вектору х ∈ U ставится в соответствие единственный
вектор у ∈ V . При этом вектор у = f ( х ) называется образом вектора х , а век-
тор х называется прообразом вектора у .
       Из определения следует, что каждый образ имеет прообраз, но не каж-
дый прообраз имеет образ, даже если и имеет, то не единственный.

         П р и м е р 1.
         Рассмотрим     оператор                  f : Rn → R2 ,    определенный    правилом
∀x = ( x1 , x 2 , ..., x n ) ∈ R n

          y = f ( x ) = ( x1 + x 2 + ... + x n , x1 ) ∈ R 2 .

       П р и м е р 2.
       Пусть ∀x ∈ R n ставится в соответствие нулевой вектор. Такой оператор
называется нулевым O  € .     ( )
         O€ : O€( х ) = o .

       П р и м е р 3.
       Пусть ∀ х ∈ R n ставится в соответствие он сам. Такой оператор называ-
ется тождественным (I), т.е.

          I : I (х ) = х .

         Определение 2. Оператор                    f :U → V      называется линейным, если
∀ х ∈ R n и ∀ у ∈ R n и ∀α ∈ R выполняются условия:
        1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) – свойство аддитивности;
        2) f (αx ) = α ⋅ f ( x ) – свойство однородности.
        Линейный оператор будем обозначать у = L( х ).


4