ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 Линейные операторы
1.1 Основные определения
Определение 1. Оператором f, действующим из линейного пространства
U в линейное пространство V (пишут
V
U
f
→: ), называется правило (закон),
по которому каждому вектору
U
х
∈
ставится в соответствие единственный
вектор
V
у ∈ . При этом вектор
(
)
хfу
=
называется образом вектора
х
, а век-
тор
х
называется прообразом вектора у .
Из определения следует, что каждый образ имеет прообраз, но не каж-
дый прообраз имеет образ, даже если и имеет, то не единственный.
П р и м е р 1.
Рассмотрим оператор , определенный правилом
2
: RRf
n
→
()
n
n
Rxxxx ∈=∀ ...,,,
21
() ( )
2
121
,... Rxxxxxfy
n
∈+++== .
П р и м е р 2.
Пусть
n
R
x
∈∀ ставится в соответствие нулевой вектор. Такой оператор
называется нулевым
(
)
O
€
.
()
oхOO =
€
:
€
.
П р и м е р 3.
Пусть
n
Rх ∈∀ ставится в соответствие он сам. Такой оператор называ-
ется тождественным (I), т.е.
()
ххI:I = .
Определение 2. Оператор
V
U
f
→: называется линейным, если
n
Rх ∈∀ и
n
Rу ∈∀ и
R
∈∀
α
выполняются условия:
1)
()() ()
yfxfyxf +=+ – свойство аддитивности;
2)
() ()
xfxf
⋅
=
α
α
– свойство однородности.
Линейный оператор будем обозначать
(
)
хLу
=
.
4
1 Линейные операторы 1.1 Основные определения Определение 1. Оператором f, действующим из линейного пространства U в линейное пространство V (пишут f : U → V ), называется правило (закон), по которому каждому вектору х ∈ U ставится в соответствие единственный вектор у ∈ V . При этом вектор у = f ( х ) называется образом вектора х , а век- тор х называется прообразом вектора у . Из определения следует, что каждый образ имеет прообраз, но не каж- дый прообраз имеет образ, даже если и имеет, то не единственный. П р и м е р 1. Рассмотрим оператор f : Rn → R2 , определенный правилом ∀x = ( x1 , x 2 , ..., x n ) ∈ R n y = f ( x ) = ( x1 + x 2 + ... + x n , x1 ) ∈ R 2 . П р и м е р 2. Пусть ∀x ∈ R n ставится в соответствие нулевой вектор. Такой оператор называется нулевым O € . ( ) O€ : O€( х ) = o . П р и м е р 3. Пусть ∀ х ∈ R n ставится в соответствие он сам. Такой оператор называ- ется тождественным (I), т.е. I : I (х ) = х . Определение 2. Оператор f :U → V называется линейным, если ∀ х ∈ R n и ∀ у ∈ R n и ∀α ∈ R выполняются условия: 1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) – свойство аддитивности; 2) f (αx ) = α ⋅ f ( x ) – свойство однородности. Линейный оператор будем обозначать у = L( х ). 4
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »