Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 5 стр.

       Определение 3. Ядром линейного оператора называется множество век-
торов x ∈U , каждый из которых оператор f переводит в о .
        Записывают: Ker f = {х ∈ U : f ( х ) = о }.

       Определение 4. Областью значений или образом оператора называется
множество векторов y ∈V , каждый из которых является образом хотя бы одно-
го вектора x ∈U .
       Записывают: Jm f = {y ∈V : f ( x ) = y}.

       П р и м е р 4.
       Рассмотрим оператор f ( х ) = (2 x1 + x 2 , 3 x 2 , 0 ) , действующий в R3. Про-
верим для него свойства 1 и 2.
       Пусть х = ( x1 , x 2 , x 3 ), у = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ R 3 и α ∈ R . Тогда

        х + у = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) .

        Найдем        f ( х ) = (2 x1 + x 2 , 3x 2 , 0 ),    f ( у ) = (2 y1 + y 2 , 3 y 2 , 0 ).

         f ( х + у ) = (2 ⋅ ( x1 + y1 ) + x2 + y 2 , 3( x2 + y 2 ), 0 ) =


                    = ((2 x1 + x2 ) + (2 y1 + y 2 ), 3 x2 + 3 y 2 , 0 + 0 ) =


                    = (2 x1 + x2 , 3 x2 , 0 ) + (2 y1 + y 2 , 3 y 2 , 0 ) = f ( x ) + f ( y ).

        Свойство первое выполняется.
        Найдем

        α х = (α x1 , α x 2 , α x3 ) и

         f (α х ) = (2α x1 + α x 2 , 3α x 2 , 0 ) = α (2 x1 + x 2 , 3 x 2 , 0 ) = α f ( x ) .

           Свойство         второе     также             выполняется.             Значит,           оператор
f ( х ) = (2x1 + x2 , 3x2 , 0) – линейный.

        П р и м е р 5.
        Нулевой оператор O€( х ) = (0, 0, 0) ∀х ∈ R3 является линейным.
        Докажем это. Рассмотрим

        х = ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 , у = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ R 3 и α ∈ R .


                                                                                                          5