Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
(
)
321332211
,,,,, xxxхyxyxyxух
α
α
α
α
=
+
++=+ ,
() ( ) () ( )
.0,0,0
€
,0,0,0
€
== уOxO
1)
()
(
)
(
)
(
)
yOxOух
€€
0,0,0
€
+==+O ;
2)
()( )
(
)
хOх
€
0,0,0
€
⋅==
αα
O .
Свойства линейности для нулевого оператора выполняются.
П р и м е р 6.
Доказать самостоятельно, что тождественный оператор является линей-
ным.
П р и м е р 7.
Пусть
(
)
XAхf
⋅
=
,
где А – матрица размера nm
×
,
Х – матрица-столбец размера n.
()
=
+++
+++
+++
=
⋅
=
m
nmnmm
nn
nn
nmnmm
n
n
y
y
y
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
x
x
x
aaa
aaa
aaa
хf
...
...
....................................
...
...
..
...
............
...
...
2
1
2211
2222121
1212111
2
1
11
22221
11211
.
Оператор действует из пространства матриц размера 1 в пространст-
во матриц размера 1. Этот оператор является линейным, т.к. для матриц
свойства линейности выполняются:
×n
×m
1)
()( )
(
)
(
)
yfxfAYXAYXAухf
+
=
+
⋅
=
+⋅=+ ;
2)
() ()
(
)
.xfXAXAхf
⋅
=
⋅
⋅=
⋅
=
λ
λ
λ
λ
П р и м е р 8.
Пусть в R
3
задана прямая
p
z
n
y
m
x
== , проходящая через начало коорди-
нат, с направляющим вектором
(
)
pnmS ,,= . Очевидно, единичный вектор это-
го направления будет
()
pnm
pnm
S ,,
1
222
0
⋅
++
=
.
6
          х + у = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ), α х = (α x1 , α x 2 , α x 3 ) ,

         O€( x ) = (0, 0, 0 ), O€( у ) = (0, 0, 0 ).

         1) O€( х + у ) = (0, 0, 0) = O€( x ) + O€( y ) ;

         2) O€(α х ) = (0, 0, 0) = α ⋅ O€( х ) .

         Свойства линейности для нулевого оператора выполняются.

         П р и м е р 6.
         Доказать самостоятельно, что тождественный оператор является линей-
ным.

         П р и м е р 7.
         Пусть
                                                              f (х ) = A ⋅ X ,

         где А – матрица размера m × n ,
             Х – матрица-столбец размера n.

               a11     a12         ... a1n     x1   a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n   y1 
                                                                                                
              a        a 22        ... a 2 n   x 2   a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n   y 2 
    f ( х ) =  21                             ⋅  ..  =  ....................................   =  ...  .
                  ...    ...        ... ...
                                                                                               
                a m1   a m1        ... a mn   x n   a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n   y m 

       Оператор действует из пространства матриц размера n × 1 в пространст-
во матриц размера m × 1. Этот оператор является линейным, т.к. для матриц
свойства линейности выполняются:

         1) f ( х + у ) = A ⋅ ( X + Y ) = A ⋅ X + AY = f ( x ) + f ( y );

         2) f (λ х ) = A ⋅ (λX ) = λ ⋅ A ⋅ X = λ ⋅ f ( x ).

         П р и м е р 8.
                                                     x y z
         Пусть в R3 задана прямая                     = = , проходящая через начало коорди-
                                                     m n p
нат, с направляющим вектором S = (m, n, p ) . Очевидно, единичный вектор это-
го направления будет

                            1
         S0 =                                ⋅ (m, n, p ) .
                        2       2        2
                    m +n + p
6

Страницы