Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 8 стр.

1.2 Матрица линейного оператора


        Пусть задан линейный оператор L, действующий в линейном простран-
стве R , т.е. L : Rn → Rn и пусть e1 , e 2 , ..., e n – базис этого пространства Rn.
      n


         Рассмотрим действие оператора L на произвольный вектор x ∈ R n . Так
как e1 , e 2 , ..., e n – базис в Rn, то вектор x можно представить в виде линейной
комбинации базисных векторов, т.е. x = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n .
         Подействуем на вектор x линейным оператором L:
                                                           св.1
            L( x ) = L( x1 e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n ) = L( x1 e1 ) + L( x 2 e 2 ) + ... + L( x n e n ) =

                  св.2
                   = x1 L(e1 ) + x 2 L(e 2 ) + ... + x n L(e n ) ,                                             (1)

                      (        )
          где L(ei ) i = 1, n – это результат действия линейного оператора L
              на i-ый базисный вектор, т.е. это – образ i-го базисного вектора.

          Таким образом, имеем: образ любого вектора это есть линейная
                               комбинация образов базисных векторов.

        Мы будем знать, что делает оператор с любым вектором, если будем
знать, что он делает с базисными векторами.
        Вся информация о линейном операторе заключена в образах базисных
векторов.

          Определение 5. Матрицей ALe линейного оператора L в базисе e назы-
вается квадратная матрица, в i-том столбце в которой записаны координаты об-
раза i-го базисного вектора.
        Замечание – Из определения следует, что вид матрицы линейного опе-
ратора зависит от выбранного базиса и при изменении базиса матрица операто-
ра меняется.

       П р и м е р 9.
       Рассмотрим тождественный оператор I ( x ) = x . Пусть e1 , e 2 , ..., e n –
базис пространства Rn. Найдем образы базисных векторов:

          I (e1 ) = e1 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + ... + 0 ⋅ e n ,

          I (e 2 ) = e 2 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e 2 + 0 ⋅ e3 + ... + 0 ⋅ e n ,

          I (e n ) = e n = 0 ⋅ e1 + ... + 0 ⋅ e n −1 + 1 ⋅ e n .

8