Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 10 стр.

1.3 Представление линейного оператора матрицей

                      α1i 
                      
                     α i 
      Пусть L(ei ) =  2  – образ i-го базисного вектора для ∀ i = 1, n . Тогда
                      ... 
                     α i 
                      n
матрица линейного оператора y = L( x ) будет

                                          α11 α12      .. α1n 
                                         
                                         α 1 α 22      .. α 2n 
                                  ALe   = 2                     .
                                          ..   ..      .. .. 
                                         α 1 α 2       .. α nn 
                                          n     n
       Из равенства (1) имеем
       y = L( x ) = x1 ⋅ L(e1 ) + x 2 L(e 2 ) + ... + x n L(e n ) =


             α 11    α 12         α 1n 
                                  
                 1         2
            α 2     α 2           α 2n 
       = x1   + x 2   + .. + x n   =
             ...     ...          ... 
            α 1     α 2          α n 
             n       n            n


         α 11 x1 + α 12 x 2 + ... + α 1n x n   α 1 α 2       ... α 1n   x1 
                                                  1    1                 
         α 1 x + α 2 x + ... + α n x   α 1 α 2               ... α 2n   x 2 
       = 2 1            2 2                 2 n
                                                 = 2     2
                                                                           ⋅  ...  = ALe ⋅ x .
         ..................................       ... ...    ... ... 
                                                                               
         1               2                  n    α 1 α 2     ... α nn   x n 
          α
         n 1  x    + α  n 2x    +  ... + α  n n  n
                                               x           n


       Таким образом, показано, что при выбранном базисе любой линейный
оператор можно единственным образом представить в матричной форме
                                                y = ALe ⋅ x ,

       где ALe – матрица линейного оператора в выбранном базисе,
             x – произвольный вектор.

       П р и м е р 11.
       Найти матрицу линейного оператора P ( x ) – проектирования на плос-
кость хоу в пространстве R3 в базисе i , j, k .

10