Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

i
ϕ
j
ϕ
ϕ
90 –
у
х
0
Рисунок 2
1.4 Линейное пространство линейных операторов
Введем в рассмотрение сумму линейных операторов и умножение ли-
нейного оператора на действительное число. Это новые операторы и для их
определения нужно указать, как они будут действовать на векторы из R
n
.
Определение 6. Суммой линейных операторов L
1
и L
2
называется опера-
тор (L
1
+L
2
) такой, что
(
)
(
)
(
)
(
)
xLxLxLLRx
n
2121
+=+∈∀ .
Теорема. Сумма двух линейных операторов есть оператор линейный.
Доказательство.
Пусть L
1
и L
2
– два линейных оператора и (L
1
+L
2
) – их
сумма, т.е.
(
)()
(
)
(
)
xLxLxLLRx
n
2121
+=+∈∀ . Проверим свойства линейности:
пусть
n
Ry ∈ и α∈R.
1) Найдем
()()()()() ()
++=+++=++ yLxLyxLyxLyxLL
1121
def
21
() () () () () () ( )() ( )()
yLLxLLyLyLxLxLyLxL
2121
def
212122
+++=+++=++ ;
2) Найдем
()() ( ) ( ) () ()()()()
xLLxLxLxLxLxLL
2121
линво-с
21
def
21
+=+=+=+
ααααα
.
12
                                                          у




                                              ϕ
                                                  j
                                   90 – ϕ                        ϕ                             х

                                                      0                    i



                                               Рисунок 2



1.4 Линейное пространство линейных операторов


        Введем в рассмотрение сумму линейных операторов и умножение ли-
нейного оператора на действительное число. Это новые операторы и для их
определения нужно указать, как они будут действовать на векторы из Rn.
        Определение 6. Суммой линейных операторов L1 и L2 называется опера-
тор (L1+L2) такой, что ∀ x ∈ R n (L1 + L2 )( x ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) .

        Теорема. Сумма двух линейных операторов есть оператор линейный.

       Доказательство. Пусть L1 и L2 – два линейных оператора и (L1+L2) – их
сумма, т.е. ∀ x ∈ R n (L1 + L2 )( x ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) . Проверим свойства линейности:
пусть y ∈ R n и α∈ R.
                                            def
        1) Найдем (L1 + L2 )( x + y ) = L1 ( x + y ) + L2 ( x + y ) = L1 ( x ) + L1 ( y ) +
                                                                        def
         + L2 ( x ) + L2 ( y ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) + L1 ( y ) + L2 ( y ) = (L1 + L2 )( x ) + (L1 + L2 )( y ) ;

        2) Найдем

                         def                      с - во лин
        (L1 + L2 )(α x ) = L1 (α x ) + L2 (αx )       = α (L1 ( x ) + L2 ( x )) = α (L1 + L2 )( x ) .


12

Страницы