Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 13 стр.

          Свойства линейности для оператора (L1+L2) выполняются. Теорема до-
казана.

       Определение 7. Произведением линейного оператора L на действитель-
ное число α ∈ R называется оператор (αL) такой, что

                                 ∀ x ∈ Rn      (αL )(x ) = α ⋅ L(x ) .
       Теорема. Произведение линейного оператора на действительное число,
есть линейный оператор. (Доказать самостоятельно).

       Чтобы убедиться, что множество линейных операторов образует линей-
ное пространство, нужно проверить обладают ли введенные операции сложения
линейных операторов и умножения на действительное число свойствами 1-8.
       Нулевым элементом во множестве линейных операторов должен быть
оператор, который при сложении его с любым другим не изменяет его действия
на любой вектор из Rn. Проверим, что нулевой оператор обладает этим свойст-
вом: (L + 0 )( x ) = L( x ) + 0( x ) = L( x ) + 0 = L( x ) . Значит, нулевой оператор является
нулевым элементом во множестве линейных операторов.
       В качестве противоположного служит оператор (–1)·L – он найдется для
любого оператора и тогда

   (L + ( − 1) ⋅ L )(x ) = L(x ) + (− 1) ⋅ L(x ) = L(x ) + L(− x ) = L(x − x ) = L(0 ) = 0 = 0(x ) ,
          т.е. сумма операторов L и (–1)·L дает нулевой оператор.
          Можно легко убедиться (самостоятельно), что все восемь аксиом ли-
нейного пространства выполняются.
          Вывод: Множество линейных операторов с введенными операциями
сложения и умножения на действительное число образуют линейное простран-
ство.
          Каждому линейному оператору, действующему в Rn при выбранном ба-
зисе, соответствует его матрица. Выясним, каковы матрицы операторов (L1+L2)
и α ⋅ L1 .
                                                         ( )
          Обозначим: матрицу оператора L1 через AL1 = aij = A ,
                         матрицу оператора L2 через AL = (bij ) = B ,
                         матрицу оператора αL1 через AαL = (cij ) = C ,
                                                                  2



                         матрицу оператора (L1+L2) через AL + L = (d ij ) = D .
                                                                      1

                                                                          1   2


       Чтобы установить связь между матрицами A, B, C, D, проследим за дей-
ствием всех операторов на произвольный базисный вектор ei .




                                                                                                       13