Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Найдем
()() ()
+
=+=+=
ni
ji
i
i
ni
ji
i
i
iii
ni
ji
i
i
b
b
b
b
a
a
a
a
eLeLeLL
d
d
d
d
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2121
2
1
,
т.е.
.,1 BADniba
jijiji
+=⇒=∀+=d
()() ()
.,1,
...
...
...
...
2
1
11
2
1
ninijaC
a
a
a
a
eLeL
c
c
c
c
jiji
ni
ji
i
i
ii
ni
ji
i
i
=∀=∀⋅=⇒
⋅=⋅==
αααα
Это значит, что матрица суммы двух линейных операторов равна сумме
их матриц, а матрица оператора α
· L
1
равна произведению α на матрицу опера-
тора L
1
.
Определение 8. Произведением линейных операторов L
1
и L
2
называет-
ся оператор (L
2
·L
1
) (порядок важен!), действующий по правилу:
(
)
(
)
(
)
(
)
xLLxLLRx
n
1212
=∈∀ .
Таким образом, произведение операторов состоит в том, что на любой
вектор сначала действует правый оператор, а затем на образ вектора
()
xL
1
дей-
ствует левый оператор.
Теорема. Оператор, равный произведению двух линейных операторов,
является линейным оператором.
Доказательство. Пусть L
1
и L
2
– два линейных оператора, действующих
из R
n
в R
n
и пусть
n
R
x
∈
и
n
Ry ∈ и
R
∈
α
. Покажем, что оператор L
2
·L
1
– ли-
нейный:
1) возьмем вектор
(
yx +
)
и подействуем на него оператором L
2
·L
1
, по-
лучим
14
         Найдем

                     d1i                                      a1i   b1i 
                                                                
                     d 2i                                     a2i   b2i 
                     ...                                      ...   ... 
                      = (L1 + L2 )ei = L1 (ei ) + L2 (ei ) =   +   ,
                     d ji                                     a ji   b ji 
                     ...                                      ...   ... 
                                                                
                    d                                         a  b 
                     ni                                       ni   ni 

          т.е.   d ji = a ji + b ji   ∀ i = 1, n ⇒ D = A + B.


      c1i                                  a1i 
                                           
      c 2i                                 a 2i 
      ...                                  ... 
       = (αL1 )(ei ) = α ⋅ L1 (ei ) = α ⋅   ⇒ C ji = α ⋅ a ji           ∀ j = i, n ∀i = 1, n.
      c ji                                 a ji 
      ...                                  ... 
                                           
     c                                    a 
      ni                                   ni 

        Это значит, что матрица суммы двух линейных операторов равна сумме
их матриц, а матрица оператора α · L1 равна произведению α на матрицу опера-
тора L1.
        Определение 8. Произведением линейных операторов L1 и L2 называет-
ся оператор (L2 ·L1) (порядок важен!), действующий по правилу:

                                 ∀ x ∈ Rn   (L2 L1 )(x ) = L2 (L1 (x )) .

        Таким образом, произведение операторов состоит в том, что на любой
вектор сначала действует правый оператор, а затем на образ вектора L1 ( x ) дей-
ствует левый оператор.

       Теорема. Оператор, равный произведению двух линейных операторов,
является линейным оператором.

       Доказательство. Пусть L1 и L2 – два линейных оператора, действующих
из R в Rn и пусть x ∈ R n и y ∈ R n и α ∈ R . Покажем, что оператор L2·L1 – ли-
     n

нейный:
       1) возьмем вектор ( x + y ) и подействуем на него оператором L2·L1, по-
          лучим

14

Страницы