Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 16 стр.

                         2 Преобразование базиса


2.1 Вырожденное и невырожденное линейные преобразования. Ранг и де-
фект преобразования


        Линейное преобразование Y = A · X называется невырожденным, если
det A ≠ 0 и вырожденным, если det A=0.
        Рассмотрим невырожденное преобразование Y = A · X. Так как det A ≠ 0 ,
то существует матрица A–1 – обратная к матрице А.
        Линейное преобразование Y=A-1·X называется обратным по отношению
к Y = AX. Произведение прямого и обратного преобразований называется тож-
дественным преобразованием. Его матрица равна А-1·А=Е. Тождественное
преобразование Y = E · X преобразует всякий вектор в себя.
        Невырожденное преобразование устанавливает взаимно-однозначное
соответствие между векторами пространства и их образами. Действительно,
каждому вектору Х соответствует единственный образ Y = AX, и наоборот, вся-
кому образу Y соответствует единственный прообраз X = A–1Y. Вырожденное
преобразование этим свойством не обладает, т.к. для него не существует обрат-
ного преобразования.
        Рассмотрим множество всех векторов Х, для которых образом служит
нуль-вектор: АХ = 0.

       Определение 9. Множество векторов Х, для которых АХ=0, называется
ядром линейного преобразования Y=AX, а размерность ядра называется дефек-
том преобразования.

       Из определения следует, что ядро – это множество всех векторов про-
странства, которые в результате линейного преобразования превращаются в
нуль-вектор.

     Уравнение
                                     АХ = 0,                              (2)

справедливое для всех векторов ядра, в выбранном базисе эквивалентно одно-
родной системе, где матрица системы А – это матрица линейного преобразова-
ния. Если det A ≠ 0, то система (2) имеет единственное нулевое решение Х=0.
Это значит, что ядро невырожденного преобразования состоит из нуль-вектора
и, значит, дефект невырожденного преобразования (т.е. размерность его ядра)
равен нулю.
       Если det A = 0, то у системы (2) существуют и ненулевые решения, зна-
чит ядро вырожденного линейного оператора содержит и ненулевые векторы,
поэтому дефект вырожденного оператора больше нуля.
16