Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 17 стр.

        Из теории линейных систем известно, что дефект вырожденного преоб-
разования равен n – r, где n – порядок матрицы А, r = Rg A. Если det A ≠ 0,
то n = r и n – r = 0, следовательно, дефект невырожденного преобразования
равен нулю.


2.2 Преобразование координат вектора при замене базиса


          Координаты вектора определяются по отношению к выбранному бази-
су, и при изменении базиса они меняются. Матрицы линейных операторов тоже
изменяются при изменении базиса. Выясним правила, по которым происходит
преобразования координат векторов и матриц линейных операторов.
          Пусть есть «старый» базис e : e1 , e 2 , ..., e n и «новый» базис
e ′= e1′, e 2′ , ..., e n′ и пусть новые базисные векторы имеют следующие разложе-
ния по векторам «старого» базиса:

                               e1′ = t11 e1 + t12 e 2 + ... + t1n e n ,
                               e 2′ = t 21 e1 + t 22 e 2 + ... + t 2 n e n ,
                                                                                      (3)
                               ................................................
                               e n′ = t n1 e1 + t n 2 e 2 + ... + t nn e n .

       Обозначим

                                           t11      t 21    ... t n1 
                                                                      
                                          t         t 22    ... t n 2 
                                 Tee′   =  12                           .
                                              ...     ...    ... ... 
                                                                     
                                            t1n     t 2n    ... t nn 

       Определение 10. Матрица Tee,, в столбцах которой находятся координа-
ты новых базисных векторов относительно старого базиса называется матрицей
оператора замены базиса.

       Очевидно, систему (3) можно записать в матричной форме

                       (e1′,   e 2′ , ..., e n′ ) = (e1 , e 2 , ..., e n ) ⋅ Tee′ .   (4)

       Пусть x – произвольный вектор линейного пространства U, тогда он
имеет разложения по базисам e и e ′ :




                                                                                      17