Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Имеем два базиса
321
,,: eeee и
321
,,: eeee
′
′
′
′
и имеется разложение
векторов «нового» базиса по векторам старого базиса.
Матрица оператора замены базиса будет
=
−
−
=
′
10
10
1
,
1011
111
11
10
11
eee
xT .
Из выражения (6) имеем:
eeeeeeee
xTxxTx ⋅=⇒=
−
′′′′
1
.
Найдем
T :
1−
′
ee
1
1011
111
11
det
10
11
−=−
−
=
′
ee
T ;
−−
−
−−
−=
−
′
10
21
10
121
10
1
10
11
1
11
21210
1
1
ee
T .
−=
⋅
−
−−
−
=
′
131
110
11
10
...
10
1
11
21210
1
10
21
10
121
10
1
10
11
e
x .
2.3 Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
При замене базиса меняется и матрица линейного оператора.
Теорема. Если
n
eeеe ...,,,:
21
и
n
eeеe
′
′
′
′
...,,,:
21
– два базиса неко-
торого линейного пространства U и
(
)
(
)
njiaA
ijL
e
,1, == – матрица линейного
оператора L в базисе
e , то матрица B этого оператора в базисе e
′
имеет вид:
eeLee
TATB
e
′
−
′
⋅⋅=
1
.
где
ee
′
T – матрица оператора замены базиса.
Доказательство. Пусть
x
произвольный вектор линейного пространства
U. Тогда координаты вектора
x
′
в базисе e и e
′
связаны равенством
19
       Имеем два базиса e : e1 , e 2 , e3 и e ′ : e1′, e 2′ , e3′ и имеется разложение
векторов «нового» базиса по векторам старого базиса.
       Матрица оператора замены базиса будет

                   1 10
                      11
                          − 1       1
                                    
        Te e′   =  1 − 1 1 , x e = 10  .
                  11 0    1       10 
                                     

        Из выражения (6) имеем:

                                 x e = Tee′ x e′   ⇒ x e ′ = Te−e1′ ⋅ x e .

        Найдем Te−e1′ :

                         11
                       1 10 −1                                   − 1 − 10
                                                                        11   1 
                                                                           10 
        det Te e′   = 1 − 1 1 = −1 ;               Te−e1′   = −1 10 12    − 2 .
                      11 0  1                                    11 − 121 − 21 
                                                                       10    10 


                              1  
                                     1
                1     11  −             11 
                      10    10 
                                    
                                    10             
        x e′ =  − 10 − 12 2  ⋅   =  − 110  .
                − 11 121   21  
                                    ...
                                          131 
                      10   10  
                                  10 


2.3 Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса


        При замене базиса меняется и матрица линейного оператора.

        Теорема. Если e : е1 , e 2 , ..., e n и e ′ : е1′, e 2′ , ..., e n′ – два базиса неко-
торого линейного пространства U и ALe = aij           ( ) (i, j = 1, n ) – матрица линейного
оператора L в базисе e , то матрица B этого оператора в базисе e ′ имеет вид:

                                    B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ .

        где Te e ′ – матрица оператора замены базиса.

       Доказательство. Пусть x произвольный вектор линейного пространства
U. Тогда координаты вектора x ′ в базисе e и e ′ связаны равенством

                                                                                           19

Страницы