Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

eeee
xTx
′′
⋅
=
. (9)
Так как – матрица оператора L, то сам оператор имеет вид
e
L
A
eLe
xAy
e
⋅
=
. (10)
Если координаты вектора
x
в базисах e и e
′
связаны соотношением (9),
то координаты образов этого вектора в базисах
e и e
′
связаны таким же соот-
ношением
eeee
yTy
′′
⋅
=
. (11)
Если В – матрица оператора L в базисе
e
′
, то
ee
xBy
′′
⋅
=
. (12)
Умножим обе части равенства (9) на
e
L
A слева, получим:
eeeL
y
eL
xTAxA
e
e
e
′′
=
⋅
43421
.
Из уравнения (11) следует:
e
B
eeLeeeeeeLeee
xTATyxTAy
ee
′′
T
−
′′′′′′
⋅⋅⋅=⇒⋅⋅=
4434421
1
. (13)
Сравнивая выражения (12) и (13), получаем:
eeLee
TATB
e
′
−
′
⋅⋅=
1
.
Что и требовалось доказать.
П р и м е р 15.
Найти матрицу линейного оператора L, заданную в
базисе
−
−=
111
101
110
e
L
A
321
,,: eeеe , в базисе
321
,,: eeеe
′
′
′
′
, где
20
                                          x e = Te e ′ ⋅ x e ′ .                                                 (9)

        Так как ALe – матрица оператора L, то сам оператор имеет вид

                                            ye = ALe ⋅ xe .                                                     (10)

      Если координаты вектора x в базисах e и e ′ связаны соотношением (9),
то координаты образов этого вектора в базисах e и e ′ связаны таким же соот-
ношением

                                             y e = Te e ′ ⋅ y e ′ .                                             (11)

        Если В – матрица оператора L в базисе e ′ , то

                                             ye ′ = B ⋅ xe ′ .                                                  (12)

      Умножим обе части равенства (9) на ALe слева, получим:

                                            A ⋅ x = ALe Te e ′ xe ′ .
                                            14Le2 43 e
                                                ye


      Из уравнения (11) следует:

                    Te e ′ y e ′ = ALe ⋅ Te e ′ ⋅ x e ′    ⇒          y e ′ = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ ⋅ x e ′ .   (13)
                                                                              1 4 4 2 4 43
                                                                                        B


        Сравнивая выражения (12) и (13), получаем:

                                         B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ .

        Что и требовалось доказать.

        П р и м е р 15.
                                  0      1               1
                                                           
       Найти матрицу ALe =  − 1 0                        1 линейного оператора L, заданную в
                                   1 −1                  1
                                  
базисе e : е1 , e 2 , e3 , в базисе e ′ : е1′,            e 2′ , e3′ , где




20

Страницы