Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

3 Собственные векторы и собственные значения линейного преобразо-
вания
3.1 Характеристическое уравнение линейного преобразования
Рассмотрим линейное преобразование
(
)
xLy
=
. Может оказаться, что
образом некоторого вектора
0≠
x
служит элемент
(
)
xL , коллинеарный вектору
x
, т.е.
(
)
(
)
RxxL
∈
=
λ
λ
.
Определение 11. Всякий ненулевой вектор
x
, называется собственным
вектором линейного преобразования
(
)
xLy
=
, если найдется такое число λ, что
будет выполняться равенство
(
)
xxL
λ
=
.
Это число λ называется собственным значением линейного преобразова-
ния, соответствующим собственному вектору
x
.
Выясним, как найти собственные векторы и собственные значения ли-
нейного оператора
()
xLy = .
Пусть
=
n
x
...
x
x
x
2
1
– собственный вектор оператора L, матрица которого в
некотором базисе есть
и λ – собственное значение,
соответствующее собственному вектору
=
nnn
n
f
aa
aa
A
...
.........
...
1
111
x
. Тогда xxA
L
λ
= или
⇒=− 0xxA
L
λ
(
)
0
=
−
xEA
L
λ
. (14)
Это уравнение представляет собой однородную линейную систему с
матрицей
22
3 Собственные векторы и собственные значения линейного преобразо-
                                    вания


3.1 Характеристическое уравнение линейного преобразования


       Рассмотрим линейное преобразование y = L( x ) . Может оказаться, что
образом некоторого вектора x ≠ 0 служит элемент L( x ), коллинеарный вектору
x , т.е.

                              L( x ) = λx (λ ∈ R ) .

       Определение 11. Всякий ненулевой вектор x , называется собственным
вектором линейного преобразования y = L( x ), если найдется такое число λ, что
будет выполняться равенство

                                  L ( x ) = λx .

      Это число λ называется собственным значением линейного преобразова-
ния, соответствующим собственному вектору x .
        Выясним, как найти собственные векторы и собственные значения ли-
нейного оператора y = L( x ).
                   x1 
                   
                  x 
        Пусть x =  2  – собственный вектор оператора L, матрица которого в
                     ...
                   
                    xn 
                                a11 ... a1n 
                                            
некотором базисе есть A f =  ... ... ...  и λ – собственное значение,
                               a            
                                n1 ... a nn 
соответствующее собственному вектору           x . Тогда     AL x = λx  или
AL x − λx = 0 ⇒

                                 ( AL − λE )x = 0 .                      (14)

      Это уравнение представляет собой однородную линейную систему с
матрицей




22

Страницы