Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 24 стр.

         Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению
λ1 = −1 . Получим систему

       3 x1 + x 2 = 0,                         − 1
                           ⇒      X λ = −1 =   .
       3 x1 + x 2 = 0                          3

       Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению
λ=3. Получим систему

       `− x1 + x 2 = 0,                       1
                           ⇒       X λ =3 =   .
       3 x1 − 3 x 2 = 0                       1

       Итак, собственные векторы линейного оператора:

                    − 1             1
       X λ = −1 =  ,    X λ =3 =   .
                    3               1

        Пусть элементы матрицы А вещественны. Тогда её характеристическое
уравнение (15) имеет вещественные коэффициенты. Однако корни его могут
быть и комплексными. Таким образом, вещественная матрица может иметь
комплексные собственные значения. Если собственное значение вещественной
матрицы комплексно, то координаты собственного вектора также комплексные.
        С точки зрения геометрии собственный вектор указывает в пространст-
ве направление, которое при линейном преобразовании Y=AX не меняется и
вдоль которого пространство испытывает «растяжение», а соответствующее
этому вектору собственное значение определяет величину «растяжения» по
указанному направлению.
        Так как степень характеристического многочлена равна n, то оно имеет
ровно n корней (вещественных или комплексных). Среди них могут быть крат-
ные корни, поэтому число различных собственных значений матрицы А может
оказаться меньше n.
        Пусть k (k ≤ n ) – число попарно различных собственных значений
λ1, λ2, …, λk матрицы А. Подставим их поочередно в систему (14) и решив её,
найдем k собственных векторов Х1, Х2, …, Хk.

      Теорема. Собственные векторы матрицы, отвечающие попарно различ-
ным соответственным значениям, линейно независимы.

       Доказательство. Пусть Х1, Х2, …, Хk – собственные векторы матрицы,
отвечающие попарно различным собственным значениям. Предположим, что
они линейно зависимы, т.е. существует ненулевой набор чисел α1, α2, …, αk, та-
            k
кой, что   ∑α i X i = 0 .
           i =1

24