Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 26 стр.

векторов Х1, Х2, …, Хk неверно, т.к. ведет к противоречию. Значит, собственные
векторы матрицы, соответствующие попарно различным собственным значени-
ям, линейно независимы.
       В частном случае, когда все корни характеристического уравнения про-
стые можно построить n линейно независимых собственных векторов матрицы.


3.2 Инвариантность характеристического многочлена линейного опера-
тора относительно выбора базиса


      Пусть в линейном пространстве выбран базис e : е1 , e 2 , ..., e n и
ALe – матрица линейного оператора L в этом базисе. Характеристическое
                               (
уравнение имеет вид det ALe − λE = 0 .        )
        Выберем другой базис e ′ : е1′, e 2′ , ..., e n′ , переход к которому выполня-
ется с помощью оператора, матрица которого Te e ′ .
        Тогда матрица оператора L в новом базисе e ′ будет

                                                  B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′

        и характеристический многочлен запишется в виде

                               (                            )        (                               )
        det (B − λE ) = det Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ − λE = det Te−e1′ ALe ⋅ Te e ′ − Te−e1′ ⋅ λE ⋅ Te e ′ =


              (       (            )      )                      (            )
        = det Te−e1′ ⋅ ALe − λE ⋅ Te e ′ = det Te−e1′ ⋅ det ALe − λE ⋅ det Te e ′ =


              (            )                                 (
        = det ALe − λE ⋅ det Te−e1′ ⋅ det Te e ′ = det ALe − λE ,         )
        т.е. характеристический многочлен не меняется при изменении базиса.




26