Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Будем считать, что
векторов Хλ
1
, Х
2
, …, Х
l
, где
(
)
k<
≤
λ
1 линейно неза-
висимы, а тогда столбцы
являются их линейными комби-
нациями. Тогда
k
XX ...,,,
21 ++λλ
X
∑
=
=
λ
1i
iik
XCX , (16)
где С
i
– некоторые координаты.
Умножим обе части равенства (16) на матрицу
А. Так как
iii
XAX
λ
= , то
∑∑
==
==
λ
λ
11ii
iiiiik
XCAXCAX
λ
. (17)
С другой стороны,
kkk
XAX
λ
=
и из (16) получим
∑∑
==
λ=λ=
λ
λ
11ii
iiiiikk
XCXCAX . (18)
Составим разность равенств (17) и (18), получим
∑∑
==
=−
λ
λ
11
0
i
iik
i
iii
XCXC
λλ
или
()
∑
=
=⋅−
λ
1
0
i
ikii
XC
λλ
. (19)
Так как векторы Х
1
, Х
2
, …, Х
l
линейно независимы, то равенство (19)
выполняется, когда все коэффициенты
(
)
(
)
λ,iC
kii
10 ==λ−λ . Но
ki
λ
≠λ , то
равенство (19) выполняется, когда все
С
i
= 0
(
)
λ,i 1= . (20)
Из выражения (20) следует, что собственный вектор уравнения (16)
нулевой, но нулевой вектор не может быть собственным векто-
ром матрицы. Значит, предположение о линейной зависимости собственных
∑
=
=
λ
1
i
iik
xCX
25
      Будем считать, что λ векторов Х1, Х2, …, Хl, где (1 ≤ λ < k ) линейно неза-
висимы, а тогда столбцы X λ+1 , X λ+ 2 , ..., X k являются их линейными комби-
нациями. Тогда

                                                     λ
                                         X k = ∑ Ci X i ,                            (16)
                                                    i =1


        где Сi – некоторые координаты.

        Умножим обе части равенства (16) на матрицу А. Так как AX i = λ i X i , то

                                       λ                        λ
                           AX k = ∑ C i AX i = ∑ C i λi X i .                        (17)
                                    i =1                       i =1


        С другой стороны, AX k = λ k X k и из (16) получим

                                              λ                     λ
                           AX k = λ k ∑ C i X i = ∑ λ i C i X i .                    (18)
                                             i =1                 i =1


        Составим разность равенств (17) и (18), получим

                                   λ                        λ
                                  ∑ C i λi X i −∑ λ k C i X i = 0
                                  i =1                     i =1


        или

                                         λ
                                       ∑ Ci (λi − λ k ) ⋅ X i = 0 .                  (19)
                                       i =1


       Так как векторы Х1, Х2, …, Хl линейно независимы, то равенство (19)
                                                                             (   )
выполняется, когда все коэффициенты C i (λ i − λ k ) = 0 i = 1, λ . Но λ i ≠ λ k , то
равенство (19) выполняется, когда все

                                                           (
                                              Сi = 0 i = 1, λ .          )           (20)

        Из выражения (20) следует, что собственный вектор уравнения (16)
       λ
X k = ∑ C i x i нулевой, но нулевой вектор не может быть собственным векто-
      i =1
ром матрицы. Значит, предположение о линейной зависимости собственных

                                                                                       25

Страницы