Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 27 стр.

3.3 Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов


                                                                    ( )(
        Пусть L:U → U – линейный оператор с матрицей AL = aij i, j = 1, n в  )
некотором базисе и пусть λ1, λ2, …, λn – собственные значения этого оператора,
которым соответствуют собственные векторы e1 , e 2 , ..., e n . Предположим, что
собственные векторы e1 , e 2 , ..., e n линейно независимы, тогда они образуют
базис. Запишем матрицу оператора в новом базисе из собственных векторов.
        Для этого найдем образы базисных векторов:

       AL (e1 ) = λ1 e1 = (λ1 , 0, 0, ..., 0),

       AL (e 2 ) = λ 2 e 2 = (0, λ 2 , 0, ..., 0),

       ……………………………………

       AL (e n ) = λ n e n = (0, 0, ..., 0, λ n )

      Таким образом, матрица оператора в новом базисе имеет диаго-
нальный вид

                                    λ1 0 0 ...         0 0
                                                             
                                    0 λ2 0 ...         0 0
                              BL =                             .
                                      ... ... ... ...     ... 
                                                        ...
                                                            
                                     0 0 0 ...         0 λn 

        Теорема. Для того, чтобы матрица линейного оператора в данном бази-
се e : e1 , e 2 , ..., e n была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы ба-
зисные векторы были собственными векторами этого оператора.

       Доказательство. Необходимость.
       Пусть базисные векторы e1 , e 2 , ..., e n являются собственными векто-
рами оператора и λ1, λ2, …, λn – соответствующие им собственные значения.
                        (        )
Тогда L(ek ) = λk ek k = 1, n – образ k-го базисного вектора и матрица операто-
ра
                                λ1 0 0 ... 0 0 
                                                         
                                0 λ2 0 ... 0 0 
                          BL =                              .
                                  ... ... ... ... ... ... 
                                                        
                                 0   0    0  ... 0   λ n


                                                                             27