Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 29 стр.

                            4 Евклидовы пространства


       В качестве конкретного линейного пространства мы рассматриваем
геометрическое векторное пространство, в котором были введены понятия дли-
ны вектора и угла между векторами. Также было введено понятие скалярного
произведения двух векторов, как число, равное произведению длин векторов на
косинус угла между ними, причём скалярное произведение обладает четырьмя
свойствами: коммутативности, два свойства линейности и положительной оп-
ределённости.
       В абстрактных линейных пространствах полезно иметь аналоги этих
понятий.


4.1 Аксиоматическое определение скалярного произведения


       Определение 12. Скалярным произведением называется функция пары
векторов, которая любой паре векторов х ∈ R n и у ∈ R n ставит в соответствие
действительное число, обозначаемое ( x, y ) , удовлетворяющее четырем аксио-
мам:
          1. ∀ х ∈ R n и ∀ y ∈ R n ( x , y ) = ( y , x ) – свойство симметрии.

          2. ∀ х ∈ R n , ∀ y ∈ R n и ∀ λ ∈ R          (λх , у ) = λ (х , у ).

          3. ∀ х ∈ R n , ∀ y ∈ R n , ∀ z ∈ R n ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z )
          – дистрибутивность скалярного произведения.

          4. ∀ x ∈ R n    (х , х ) ≥ 0 ;   причем ( x , x ) = 0 ⇔       x = 0.

       Свойство первое называется коммутативностью скалярного произведе-
ния, свойства второе и третье – свойства линейности, четвёртое свойство – по-
ложительной определённости.

       Определение 13. Линейное пространство Rn со скалярным произведени-
ем называется евклидовым пространством и обозначается En.

       Заметим, что в Rn можно ввести скалярные произведения различными
способами и тем самым получать, различные евклидовы пространства.



                                                                                       29