Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Проверим свойство 4 для скалярного произведения:
()
(
)
2
2
2
21
2
221
2
1
1548, xxxxxxxxx −+=++=
.
Если , то
1,4
21
−== xx
(
)
015,
<
−
=
хх
, следовательно, аксиома 4 не вы-
полняется. Значит, формула (22) не может служить скалярным произведением.
П р и м е р 19.
Множество геометрических векторов пространства R
3
является евкли-
довым пространством.
4.2 Неравенство Коши-Буняковского
Докажем, что
()
(
)
(
)
ууххух ,,, ⋅≤ .
Если
0=
х
или
0=у
, то неравенство справедливо.
Пусть
0,0 ≠≠ у
х
, тогда
(
)
0, >хх
и
(
)
0, >уу
. Рассмотрим вектор
()()
уу
у
хх
х
,,
±
и умножим его скалярно на себя. По аксиоме 4 это произве-
дение положительно
() () () ()
=
±±
уу
у
хх
х
уу
у
хх
х
,,
,
,,
()
()
()
()
()()
(
)
()
()
=+±=
22
,
,
,,
,2
,
,
уу
уу
уухх
ух
хх
хх
()
()()
(
)
()()
()
()()
⇒
−>
⋅
<
⋅
⇒>
⋅
±⋅=
1
,,
,
1
,,
,
0
,,
,
12
уухх
ух
уухх
ух
уухх
ух
()
()()
()()()
.,,,1
,,
,
ууххух
уухх
ух
<⇒<
⋅
⇒
Можно утверждать, что
y
x
∀
∀
и :
(
)
(
)
(
)
yyxxyx ,,, ⋅≤ .
31
        Проверим свойство 4 для скалярного произведения:

        (x , x ) = x12 + 8 x1 x 2 + x 22 = (x1 + 4 x 2 )2 − 15 x 22 .
       Если x1 = 4, x 2 = −1 , то ( х , х ) = −15 < 0 , следовательно, аксиома 4 не вы-
полняется. Значит, формула (22) не может служить скалярным произведением.

      П р и м е р 19.
      Множество геометрических векторов пространства R3 является евкли-
довым пространством.


4.2 Неравенство Коши-Буняковского


          Докажем, что ( х , у ) ≤ ( х , х ) ⋅ ( у , у ) .
          Если х = 0 или у = 0 , то неравенство справедливо.
          Пусть х ≠ 0, у ≠ 0 , тогда ( х , х ) > 0 и ( у , у ) > 0 . Рассмотрим вектор
    х          у
          ±          и умножим его скалярно на себя. По аксиоме 4 это произве-
  (х , х ) ( у, у )
дение положительно

                 х                у              х                  у        
                          ±              ,                ±                  =
               (х , х )       ( у, у )         (х , х )           ( у , у ) 
        

                 (х , х )                 2( х , у )                ( у, у )
        =                      ±                           +                       =
            (    (х , х ))
                          2
                                       (х , х ) ( у, у )       (    ( у, у ))
                                                                             2



                                                                                 (х , у )
                                                                                                <1
                       ( х, у )                                            (х , х ) ⋅ ( у, у )
        = 2 ⋅ 1 ±                        > 0 ⇒                                                      ⇒
              
                  (х , х ) ⋅ ( у , у )                                        (х , у )
                                                                                                 > −1
                                                                           (х , х ) ⋅ ( у, у )
                           (х , у )
        ⇒                                      <1 ⇒            (х , у ) < (х , х ) ( у , у ).
                      (х , х ) ⋅ ( у, у )

        Можно утверждать, что ∀x и ∀y :

                                                   (x , y ) ≤ (x , x ) ⋅ ( y, y ) .

                                                                                                            31

Страницы