Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 33 стр.

4.4 Угол между векторами


       Скалярное произведение позволяет определить понятие угла между
двумя векторами, для любого евклидова пространства.
       Из неравенства Коши-Буняковского следует, что

                                                     ( x, y )
                                                                     ≤ 1.
                                                 (х , х ) ( у, у )

       Выражение, стоящее под знаком модуля имеет те же границы измене-
ния, что и cos ϕ . Поэтому полагают ∀ х ∈ E n и y ∈ E n .

                                                            (x , y )
                            cos ( x , y ) = cos ϕ =                        ,   0≤ϕ ≤π .
                                                        (x , x ) ( y , y )
       Для пространства En эта формула даёт знакомую нам формулу косинуса
угла между двумя векторами.

      П р и м е р 21.
                                         − 1         т
       Найти угол между векторами х =  , у = 3, 1 пространства E2 со    ( )
                                         2
скалярным произведением из примера 1 параграфа 1.2, т.е.

       (х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 .
      Найдём ( х , у ) = (− 1) ⋅ 3 + 2 ⋅ (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 ⋅ 1 = 23 ;

       х =     (х , х ) = (− 1)2 + 2(− 1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ (− 1) + 2 2 =          25 = 5,


       у =     ( у, у ) =    3 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 12 = 29 ;

                  23                          23 29 
       cos ϕ =        ;        ϕ = arccos          .
                                                     
                 5 29                          145  




                                                                                          33