Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 35 стр.

ная комбинация этих векторов равна нулю, т.е. λ1e1 + λ2 e2 + ... + λk ek = 0 . Ум-
ножим обе части этого равенства на вектор ei скалярно, получим:

              λ1 (e1 , ei ) + λ 2 (e 2 , ei ) + ... + λi (ei , ei ) + ... + λ k (e k , ei ) = 0 .

         Так как векторы ортогональны, то

         (e m ,   ei ) = 0, m ≠ i ⇒ λi (ei , ei ) = 0 ⇒ λi = 0 , т.к. (ei , ei ) ≠ 0 .

           Значит, получим нулевую линейную комбинацию только, если λ i = 0,
i = 1, 2, ..., k , следовательно, векторы линейно независимы.

       Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве каждая ортонормиро-
ванная система, состоящая из n векторов, является базисом.
       Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве En существует
ортонормированный базис.

         Доказательство. Пусть q1 , q 2 , ..., q n – произвольный базис пространст-
ва E . Положим, f1 = q1 , f 2 = q2 + α f1 , причём α подберём так, чтобы векторы
     n


 f1 и f 2 были ортогональны, т.е.


                  (q2 + α f1 , f1 ) = (q2 , f1 ) + α ( f1 , f1 ) = 0    ⇒ α =−
                                                                                    (q2 , f1 ) .
                                                                                    ( f1 , f1 )

            Так как f 1 ≠ 0 , то ( f1 , f 1 ) ≠ 0 . Ввиду линейной независимости векторов
q1 и q 2 вектор f 2 будет ненулевым.
            Допустим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы
 f 1 , f 2 , ..., f k −1 уже найдены. Положим f k = q k + τ 1 f 1 + τ 2 f 2 + ... + τ k −1 f k −1 и
подберём числа τ 1 , τ 2 , ..., τ k −1 так, чтобы вектор f k был ортогонален к
 f 1 , f 2 , ..., f k −1 . Для этого нужно, чтобы выполнялись равенства:


         ( f k , fi ) = (qk , fi ) + τ i ( f i , fi ) = 0   при i = 1, k − 1 , откуда τ i = −
                                                                                                    (qk , f i ) .
                                                                                                    (fi , fi )
      Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдём по-
следний ненулевой вектор f n = qn + ξ1 f1 + ξ 2 f 2 + ... + ξ n −1 f n −1 , ортогональный ко
всем предыдущим векторам f1 , f 2 , ..., f n −1 .
        В силу предыдущей теоремы векторы f 1 , f 2 , ..., f n линейно независи-
мы, а, значит, образуют ортогональный базис. Если умножить каждый из век-

                                                                                                                    35