ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ная комбинация этих векторов равна нулю, т.е.
0...
2211
=++
+
kk
eee
λ
λ
λ
. Ум-
ножим обе части этого равенства на вектор
i
e скалярно, получим:
()()
(
)
(
)
0,...,...,,
2211
=+++++
ikkiiiii
eeeeeeee
λλλλ
.
Так как векторы ортогональны, то
()
(
)
00,,0,
=
⇒
=
⇒≠=
iiiiim
eeimee
λ
λ
, т.к.
()
0, ≠
ii
ee .
Значит, получим нулевую линейную комбинацию только, если ,0
=
i
λ
k
i ...,,2,1=
, следовательно, векторы линейно независимы.
Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве каждая ортонормиро-
ванная система, состоящая из n векторов, является базисом.
Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве E
n
существует
ортонормированный базис.
Доказательство.
Пусть
n
qqq ...,,,
21
– произвольный базис пространст-
ва E
n
. Положим,
12
f
α
+
211
, qfqf == , причём
α
подберём так, чтобы векторы
1
f и
2
f были ортогональны, т.е.
()()
()
(
)
()
11
12
1112112
,
,
0,,,
ff
fq
fffqffq −=⇒=+=+
ααα
.
Так как
0
1
≠f , то
()
0,
11
≠
ff
. Ввиду линейной независимости векторов
1
q и
2
q вектор
2
f будет ненулевым.
Допустим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы
121
...,,,
−k
fff уже найдены. Положим
112211
...
−−
++++=
kkkk
fffqf
τττ
и
подберём числа
121
...,,,
−k
τ
τ
τ
так, чтобы вектор
k
f был ортогонален к
121
...,,,
−k
fff . Для этого нужно, чтобы выполнялись равенства:
(
)
(
)
(
)
0,,, =+=
iiikik
ffifqff
τ
при
1,1 −= ki
, откуда
(
)
()
ii
ik
i
ff
fq
,
,
−=
τ
.
Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдём по-
следний ненулевой вектор
112211
...
−−
++++=
nnnn
fffqf
ξξξ
, ортогональный ко
всем предыдущим векторам
121
...,,,
−n
fff
.
В силу предыдущей теоремы векторы
n
fff ...,,,
21
линейно независи-
мы, а, значит, образуют ортогональный базис. Если умножить каждый из век-
35
ная комбинация этих векторов равна нулю, т.е. λ1e1 + λ2 e2 + ... + λk ek = 0 . Ум- ножим обе части этого равенства на вектор ei скалярно, получим: λ1 (e1 , ei ) + λ 2 (e 2 , ei ) + ... + λi (ei , ei ) + ... + λ k (e k , ei ) = 0 . Так как векторы ортогональны, то (e m , ei ) = 0, m ≠ i ⇒ λi (ei , ei ) = 0 ⇒ λi = 0 , т.к. (ei , ei ) ≠ 0 . Значит, получим нулевую линейную комбинацию только, если λ i = 0, i = 1, 2, ..., k , следовательно, векторы линейно независимы. Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве каждая ортонормиро- ванная система, состоящая из n векторов, является базисом. Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве En существует ортонормированный базис. Доказательство. Пусть q1 , q 2 , ..., q n – произвольный базис пространст- ва E . Положим, f1 = q1 , f 2 = q2 + α f1 , причём α подберём так, чтобы векторы n f1 и f 2 были ортогональны, т.е. (q2 + α f1 , f1 ) = (q2 , f1 ) + α ( f1 , f1 ) = 0 ⇒ α =− (q2 , f1 ) . ( f1 , f1 ) Так как f 1 ≠ 0 , то ( f1 , f 1 ) ≠ 0 . Ввиду линейной независимости векторов q1 и q 2 вектор f 2 будет ненулевым. Допустим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы f 1 , f 2 , ..., f k −1 уже найдены. Положим f k = q k + τ 1 f 1 + τ 2 f 2 + ... + τ k −1 f k −1 и подберём числа τ 1 , τ 2 , ..., τ k −1 так, чтобы вектор f k был ортогонален к f 1 , f 2 , ..., f k −1 . Для этого нужно, чтобы выполнялись равенства: ( f k , fi ) = (qk , fi ) + τ i ( f i , fi ) = 0 при i = 1, k − 1 , откуда τ i = − (qk , f i ) . (fi , fi ) Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдём по- следний ненулевой вектор f n = qn + ξ1 f1 + ξ 2 f 2 + ... + ξ n −1 f n −1 , ортогональный ко всем предыдущим векторам f1 , f 2 , ..., f n −1 . В силу предыдущей теоремы векторы f 1 , f 2 , ..., f n линейно независи- мы, а, значит, образуют ортогональный базис. Если умножить каждый из век- 35
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »