Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 36 стр.

            (        )
торов f i i = 1, n на величину, обратную его длине, то получим ортонормиро-
ванный базис, образованный векторами:

                                     f1            1                        1
                              e1 =        , e2 =        ⋅ f 2 , ..., en =        ⋅ fn .
                                     f1            f2                       fn

         Теорема доказана.

       Применённый способ получения ортонормированной системы векторов
из заданной линейно независимой системы называется процессом ортогонали-
зации.
       Замечание – Ортонормированный базис в евклидовом пространстве иг-
рает ту же роль, что декартов прямоугольный базис в трёхмерном пространст-
ве.
       П р и м е р 23.
       Пусть в E3 со скалярным произведением ( х, у ) = x1y1+ x2 y2 + x3 y3 дана сис-
тема трёх векторов:

               1            − 1        5 
                                       
         S1 =  − 2 , S 2 =  0 , S 3 =  − 3  .
               2            − 1       − 7
                                       

         С помощью процесса ортогонализации построить ортонормированный
базис.

       Решение:
       Проверим, что система S1 , S 2 , S 3 линейно независима, т.е. может слу-
жить базисом. Вычислим определитель, столбцами которого служат координа-
ты этих векторов:

          1 −1 5
          −2 0  3 = 27 ≠ 0 .
          2 −1 − 7

       Следовательно, S1 , S 2 , S 3 образуют базис в пространстве E3. Орто-
нормированный базис на основе этой системы можно построить не один, если
начинать процесс ортогонализации с различных векторов.
       Пусть f 1 = S1 . Возьмём f 2 = S 2 − τ f 1 и подберём τ такое, чтобы
( f1 , f 2 ) = 0 , следовательно, (S 2 , f1 ) − τ ( f1 , f1 ) = 0 . Так как

36