Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Получим 1 10
22
=
⇒=
−
α
α
.
Вектор
−
−=
−
−
−
−
−+
−
−=
6
3
6
31
32
32
2
2
1
3
1
7
3
5
3
f .
Проверка:
(
)
3131
01266, ffff ⊥⇒=−+= ,
(
)
3232
0224, ffff ⊥⇒=++−= .
Векторы
−
−=
−
−
−
=
−=
6
3
6
,
31
32
32
,
2
2
1
321
fff образуют ортогональ-
ный базис.
Нормируем каждый вектор, для чего умножим каждый на величину об-
ратную его модулю, получим:
−
−=
−
−
−
=
−=
32
31
32
,
31
32
32
,
32
32
31
321
eee – ортонормированный базис.
4.7 Координаты в евклидовом пространстве
Теорема. Координата x
i
вектора
х
относительно ортонормированного
базиса
n
eee ...,,,
21
равна
(
)
(
)
niexx
ii
,1, == .
Доказательство
. Пусть
n
eee ...,,,
21
ортонормированный базис про-
странства E
n
и
(
n
xxxх ...,,,
21
=
)
– произвольный вектор этого пространства,
т.е.
nn
exexexx +++= ...
2211
.
Умножим скалярно обе части этого равенства на
(
)
nie
i
,1= , получим
38
       Получим 1 − α 2 = 0 ⇒ α 2 = 1 .

                     5       1   − 2 3  6 
                      1                      
       Вектор f 3 =  − 3  +  − 2  −  − 2 3  =  − 3  .
                     − 7 3  2   − 1 3   − 6
                                             

       Проверка:

        ( f1 , f 3 ) = 6 + 6 − 12 = 0     ⇒     f1 ⊥ f 3 ,

        ( f 2 , f 3 ) = −4 + 2 + 2 = 0     ⇒      f2 ⊥ f3 .

                              1               − 2 3            6 
                                                               
       Векторы         f 1 =  − 2 ,    f 2 =  − 2 3 ,    f3 =  − 3   образуют ортогональ-
                              2               −1 3             − 6
                                                               
ный базис.
       Нормируем каждый вектор, для чего умножим каждый на величину об-
ратную его модулю, получим:

              13            − 2 3         23 
                                                
        e1 =  − 2 3 , e2 =  − 2 3 , e3 =  − 1 3  – ортонормированный базис.
              23            −1 3          − 2 3
                                                


4.7 Координаты в евклидовом пространстве


       Теорема. Координата xi вектора х относительно ортонормированного
                                                   (
базиса e1 , e 2 , ..., e n равна xi = ( x , ei ) i = 1, n .  )
       Доказательство. Пусть e1 , e 2 , ..., e n ортонормированный базис про-
странства En и х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) – произвольный вектор этого пространства,
т.е.

        x = x1 e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n .

       Умножим скалярно обе части этого равенства на ei i = 1, n , получим   (    )


38

Страницы