Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 39 стр.

        (x , ei ) = x1 (e1 , ei ) + x 2 (e 2 ,                                                 (
                                                 ei ) + ... + x i (ei , ei ) + ... + x n e n , ei = x i ,  )
                                (
        ⇒ x i = ( x , ei ), i = 1, n .       )
        Что и требовалось доказать.

        Получим выражение скалярного произведения через координаты векто-
ров.
      Пусть в En выбран базис e1 , e 2 , ..., e n (не обязательно ортонормиро-
ванный), тогда

                                         n                           n
                                    x = ∑ x i ei ,               y = ∑ yj ej .
                                        i =1                         j =1


       Вычислим

                                   n             n             n
                      (х , у ) =  ∑ x i ei ,   ∑ y j e j  = ∑ x i y i (ei , e j ) .
                                                           
                                   i =1         j =1       i , j =1

        Обозначим (ei , e j ) = q ij , тогда

                                                        n
                                        (x , y ) = ∑ qij x i y j .                                             (23)
                                                      i , j =1


       Заметим, что если изменить базис, то форма (23) изменится.
       Из свойств скалярного произведения следует, что q ij = q ji и q ii > 0 . Это
необходимые условия того, что форма (23) является скалярным произведением,
но не достаточные.
       Запишем числа qij в матрицу

             q11      q12     ... q1n   (e1 , e1 )               (e1 , e 2 )      ...   (e1 , e n ) 
                                                                                                    
            q         q 22    ... q 2 n   (e 2 , e1 )            (e 2 , e 2 )     ...   (e 2 , e n )
        Г =  21                          =                                                           .
                ...     ...    ... ...   ...                              ...      ...       ...
                                                                                                  
              q n1    qn2     ... q nn   (e n , e1 )           (e n ,    e2 )   ... (e n , e n )

       Эта матрица называется матрицей Грама, она симметрична относитель-
но главной диагонали в силу свойств скалярного произведения.
       Если базис ортонормированный, то


                                                                                                                 39