Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 41 стр.

            называется матрицей квадратичной формы в заданном базисе.

            Учитывая, что a ij = a ji (i ≠ j ) , матрица A является симметричной.

      Определение 21. Рангом квадратичной формы (24) называется ранг её
матрицы.

        Определение 22. Квадратичная форма A( х , x ) называется невырожден-
ной, если rang A = n = размерности пространства.
                                        (               )
        Пусть A = (a ij ) i, j = 1, n – матрица квадратичной формы (24) и
     x1 
     
x =  ...  – вектор-столбец переменных.
    x 
     n

         Рассмотрим матрицу x т ⋅ A ⋅ х =

                             a11     a12        ... a1n   x1 
                                                            
                            a        a 22       ... a 2 n   x 2 
= ( x1 , x 2 , ..., x n ) ⋅  21                            ⋅          =
                                ...    ...       ... ...   ... 
                                                           
                              a n1   a n2       ... a nn   x n 


= (a11 x1 + a 21 x 2 + ... + a n1 x n , a12 x1 + a 22 x 2 + ... + a n 2 x n , ..., a1n x1 + a 2 n x 2 + ...+ a nn x n )×


   x1 
   
  x 
              (
×  2  = a11 x12 + a 21 x 2 x1 + ... + a n1 x n x1 + a12 x1 x 2 + a 22 x 22 + ... + a n 2 x n x 2 + ... +
     ...
   
    xn 


                                             )
+ a1n x1 x n + a 2 n x 2 x n + a nn x n2 = A( x, x ).

       Таким образом, квадратичная форма в матричной форме имеет вид (век-
торная форма):
                             A( x, x ) = x т ⋅ A ⋅ х .

            П р и м е р 24.



                                                                                                                    41